OnderwijsSpeciale Functies – Orthogonale polynomen
Definitie: Een rij polynomen \(\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}\) met \(\text{graad}[p_n(x)]=n\) voor iedere \(n\) heet orthogonaal met betrekking tot de gewichtsfunctie \(w(x)\) op het interval \((a,b)\) met \(a < b\) als
\[\int_a^bw(x)p_m(x)p_n(x)\,dx=h_n\,\delta_{mn}\quad\text{met}\quad\delta_{mn}:=\left\{\begin{array}{ll}0, & m\neq n\\[2.5mm]1, & m=n.\end{array}\right.\]De gewichtsfunctie \(w(x)\) dient continu en positief te zijn op \((a,b)\) zodat de momenten
\[\mu_n:=\int_a^bw(x)\,x^n\,dx,\quad n=0,1,2,\ldots\]bestaan. Dan definieert de integraal
\[\langle f,\,g\rangle:=\int_a^bw(x)f(x)g(x)\,dx\]een inwendig product van de polynomen \(f\) en \(g\). Het interval \((a,b)\) heet het orthogonaliteitsinterval. Dit interval hoeft niet eindig te zijn.
Als \(h_n=1\) voor iedere \(n\in\{0,1,2,\ldots\}\) dan heet de rij polynomen orthonormaal, en als
\[p_n(x)=k_nx^n+\;\text{lower order terms}\quad\text{met}\quad k_n=1\]voor iedere \(n\in\{0,1,2,\ldots\}\) dan heten de polynomen monisch. De coëfficiënt \(k_n\) wordt de kopcoëfficiënt genoemd.
Beginnend met de rij \(\{1,x,x^2,\ldots\}\) kan het orthogonaliseringsproces van Gram-Schmidt worden gebruikt om de rij van orthogonale polynomen te construeren.
Voorbeeld: Laat \(w(x)=1\) en \((a,b)=(0,1)\). Kies \(p_0(x)=1\). Dan volgt
\[p_1(x)=x-\frac{\langle x,\,p_0(x)\rangle}{\langle p_0(x),\,p_0(x)\rangle}\,p_0(x) =x-\frac{\langle x,\,1\rangle}{\langle 1,\,1\rangle}=x-\frac{1}{2},\]omdat
\[\langle 1,\,1\rangle=\int_0^1\,dx=1\quad\text{en}\quad\langle x,\,1\rangle=\int_0^1x\,dx=\frac{1}{2}.\]Verder volgt
\begin{align*} p_2(x)&=x^2-\frac{\langle x^2,\,p_0(x)\rangle}{\langle p_0(x),\,p_0(x)\rangle}\,p_0(x) -\frac{\langle x^2,\,p_1(x)\rangle}{\langle p_1(x),\,p_1(x)\rangle}\,p_1(x) =x^2-\frac{\langle x^2,\,1\rangle}{\langle 1,\,1\rangle} -\frac{\langle x^2,\,x-\textstyle\frac{1}{2}\rangle}{\langle x-\frac{1}{2},\,x-\frac{1}{2}\rangle}\left(x-\frac{1}{2}\right)\\[2.5mm] &=x^2-\frac{1}{3}-\left(x-\frac{1}{2}\right)=x^2-x+\frac{1}{6}, \end{align*}want
\[\langle x^2,\,1\rangle=\int_0^1x^2\,dx=\frac{1}{3},\quad\langle x^2,\,x-{\textstyle\frac{1}{2}}\rangle =\int_0^1x^2\left(x-\frac{1}{2}\right)\,dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\]en
\[\langle x-{\textstyle\frac{1}{2}},\,x-{\textstyle\frac{1}{2}}\rangle =\int_0^1\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\,dx=\int_0^1\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)\,dx =\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.\]De polynomen \(p_0(x)=1\), \(p_1(x)=x-\frac{1}{2}\) en \(p_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}\) zijn de eerste drie monische orthogonale polynomen op het interval \((0,1)\) met betrekking tot de gewichtsfunctie \(w(x)=1\).
Voortzetting van dit proces geeft
\[p_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{5}x-\frac{1}{20},\quad p_4(x)=x^4-2x^3+\frac{9}{7}x^2-\frac{2}{7}x+\frac{1}{70},\quad p_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{20}{9}x^3-\frac{5}{6}x^2+\frac{5}{42}x-\frac{1}{252},\]enzovoort.
De orthonormale polynomen zijn dan \(q_0(x)=p_0(x)/\sqrt{h_0}=1\), \(q_1(x)=p_1(x)/\sqrt{h_1}=2\sqrt{3}(x-1/2)\),
\[q_2(x)=\frac{p_2(x)}{\sqrt{h_2}}=6\sqrt{5}\left(x^2-x+\frac{1}{6}\right),\quad q_3(x)=\frac{p_3(x)}{\sqrt{h_3}}=20\sqrt{7}\left(x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{5}x-\frac{1}{20}\right),\]enzovoort.
de polynomen \(q_2(x)\), \(q_3(x)\) en \(q_4(x)\).
Laatst gewijzigd op 16 mei 2021
