Differentiaalvergelijkingen – Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen – Inhomogene stelsels

We beschouwen nu inhomogene stelsels van de vorm

\[\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)+\mathbf{g}(t)\quad\text{met}\quad\mathbf{g}(t)\neq\mathbf{0}.\]

De algemene oplossing heeft de vorm \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}_p(t)+\mathbf{x}_h(t)\) met \(\mathbf{x}_h(t)\) de algemene oplossing van het homogene stelsel \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) en \(\mathbf{x}_p(t)\) een particuliere oplossing van het inhomogene stelsel. We beschouwen drie verschillende methoden:

1. Ontkoppelen; dit kan in principe alleen als de matrix \(A\) diagonaliseerbaar is.


2. De methode van onbepaalde coëfficiënten.


3. De methode van variatie van constanten.

Ontkoppelen

Als de matrix \(A\) diagonaliseerbaar is, dan geldt: \(A=PDP^{-1}\) voor zekere inverteerbare matrix \(P\) en diagonaalmatrix \(D\). Stel nu \(\mathbf{x}=P\mathbf{y}(t)\), dan volgt:

\[\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)+\mathbf{g}(t)\quad\Longleftrightarrow\quad\mathbf{y}'(t)=D\mathbf{y}(t)+\mathbf{h}(t) \quad\text{met}\quad\mathbf{h}(t)=P^{-1}\mathbf{g}(t).\]

Het stelsel voor \(\mathbf{y}(t)\) is dan een ontkoppeld stelsel: een stelsel niet-gekoppelde (eerste orde lineaire) differentiaalvergelijkingen. Dit stelsel lossen we op door elke differentiaalvergelijking afzonderlijk op te lossen. Vervolgens vinden we dan: \(\mathbf{x}=P^{-1}\mathbf{y}(t)\).

Defecte matrices

Als de matrix \(A\) defect is, dan is \(A\) niet diagonaliseerbaar. Wel geldt: \(A=PJP^{-1}\) voor zekere inverteerbare matrix \(P\) en Jordan normaalvorm \(J\). Stel nu \(\mathbf{x}=P\mathbf{y}(t)\), dan volgt:

\[\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)+\mathbf{g}(t)\quad\Longleftrightarrow\quad\mathbf{y}'(t)=J\mathbf{y}(t)+\mathbf{h}(t) \quad\text{met}\quad\mathbf{h}(t)=P^{-1}\mathbf{g}(t).\]

Dit stelsel is weliswaar niet (helemaal) ontkoppeld, maar wel vaak veel eenvoudiger dan het oorspronkelijke stelsel.

Methode van onbepaalde coëfficiënten

Bepaal eerst de algemene oplossing \(\mathbf{x}_h(t)\) van het homogene stelsel \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\). Vervolgens kunnen we soms op basis van \(\mathbf{g}(t)\) en de algemene oplossing \(\mathbf{x}_h(t)\) van het homogene stelsel \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) een geschikte vorm van een particuliere oplossing \(\mathbf{x}_p(t)\) van het inhomogene stelsel bepalen. In deze vorm komen dan nog nader te bepalen coëfficiënten voor. Dit werkt alleen als \(\mathbf{g}(t)\) bestaat uit exponentiële functies, polynomen, sinussen en cosinussen en combinaties van deze functies.

Methode van variatie van constanten

Bepaal de algemene oplossing \(\mathbf{x}(t)=\Psi(t)\mathbf{c}\) van het homogene stelsel \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\). Hierbij is \(\Psi(t)\) dus een fundamentaalmatrix van het homogene stelsel \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\). Stel nu \(\mathbf{x}(t)=\Psi(t)\mathbf{u}(t)\), dan volgt: \(\mathbf{x}'(t)=\Psi'(t)\mathbf{u}(t)+\Psi(t)\mathbf{u}'(t)\). Invullen geeft dan

\[\Psi'(t)\mathbf{u}(t)+\Psi(t)\mathbf{u}'(t)=A\Psi(t)\mathbf{u}(t)+\mathbf{g}(t)\quad\Longrightarrow\quad\Psi(t)\mathbf{u}'(t)=\mathbf{g}(t).\]

Immers: \(\Psi'(t)=A\Psi(t)\). Aangezien \(\Psi(t)\) een fundamentaalmatrix is, is deze inverteerbaar. Dus: \(\mathbf{u}'(t)=\Psi^{-1}(t)\mathbf{g}(t)\).

Hieruit volgt: \(\mathbf{u}(t)=\displaystyle\int\Psi^{-1}(t)\mathbf{g}(t)\,dt\). Deze stap is echter niet altijd even eenvoudig. Afhankelijk van \(\mathbf{g}(t)\) en \(\Psi(t)\) kan dit een behoorlijk lastige integraal zijn. Als \(\mathbf{u}(t)\) echter toch gevonden kan worden, dan volgt uiteindelijk dat \(\mathbf{x}(t)=\Psi(t)\mathbf{u}(t)\).

Voorbeeld:

Beschouw \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)+\mathbf{g}(t)\) met \(A=\begin{pmatrix}5&-3\\6&-4\end{pmatrix}\) en \(\mathbf{g}(t)=\begin{pmatrix}e^{-t}\\e^t+2t+3\end{pmatrix}\). Dan geldt:

\[|A-rI|=\begin{vmatrix}5-r&-3\\6&-4-r\end{vmatrix}=r^2-r-2=(r-2)(r+1).\]

Dus: \(r_1=2\) en \(r_2=-1\) zijn de eigenwaarden van \(A\). Verder volgt:

\[r_1=2:\quad\begin{pmatrix}3&-3\\6&-6\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\]

en

\[r_2=-1:\quad\begin{pmatrix}6&-3\\6&-3\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}2&-1\\0&0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.\]

Dus: \(\mathbf{x}_h(t)=c_1\mathbf{v}_1e^{r_1t}+c_2\mathbf{v}_2e^{r_2t}=c_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}e^{2t}+c_2\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{-t}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

Dit kan ook geschreven worden als \(\mathbf{x}_h(t)=\Psi(t)\mathbf{c}\) met \(\mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}\) en \(\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{2t}&e^{-t}\\e^{2t}&2e^{-t}\end{pmatrix}\), een fundamentaalmatrix van \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\).

De matrix \(A\) is diagonaliseerbaar: \(A=PDP^{-1}\) met \(P=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\) en \(D=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}\). Dan volgt: \(P^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}\).

1) Stel dat \(\mathbf{x}(t)=P\mathbf{y}(t)\), dan volgt: \(\mathbf{y}'(t)=D\mathbf{y}(t)+\mathbf{h}(t)\) met \(\mathbf{h}(t)=P^{-1}\mathbf{g}(t) =\begin{pmatrix}2e^{-t}-e^t-2t-3\\-e^{-t}+e^t+2t+3\end{pmatrix}\). Dit is een stelsel niet-gekoppelde differentiaalvergelijkingen:

\[\left\{\begin{array}{l}y_1'(t)=2y_1(t)+2e^{-t}-e^t-2t-3\\[2.5mm]y_2'(t)=-y_2(t)-e^{-t}+e^t+2t+3\end{array}\right.\]

Deze kunnen we oplossen met behulp van de theorie van eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen, maar we kunnen ook de methode van onbepaalde coëfficiënten gebruiken:

\[y_1'(t)=2y_1(t)+2e^{-t}-e^t-2t-3\quad\Longrightarrow\quad y_{1,h}(t)=c_1e^{2t}\quad\text{en}\quad y_{1,p}(t)=Ae^{-t}+Be^t+Ct+D.\]

Invullen geeft dan: \(-Ae^{-t}+Be^t+C=2Ae^{t}+2Be^t+2Ct+2D+2e^{-t}-e^t-2t-3\). Hieruit volgt: \(A=-\frac{2}{3}\), \(B=C=1\) en \(D=2\). Dus: \(y_{1,p}(t)=-\frac{2}{3}e^{-t}+e^t+t+2\).

\[y_2'(t)=-y_2(t)-e^{-t}+e^t+2t+3\quad\Longrightarrow\quad y_{2,h}(t)=c_2e^{-t}\quad\text{en}\quad y_{2,p}(t)=Ate^{-t}+Be^t+Ct+D.\]

Invullen geeft dan: \(A(1-t)e^{-t}+Be^t+C=-Ate^{-t}-Be^t-Ct-D-e^{-t}+e^t+2t+3\). Hieruit volgt: \(A=-1\), \(B=\frac{1}{2}\), \(C=2\) en \(D=1\). Dus: \(y_{2,p}(t)=-te^{-t}+\frac{1}{2}e^t+2t+1\). We hebben dus gevonden dat

\[\left\{\begin{array}{l}y_1(t)=-\frac{2}{3}e^{-t}+e^t+t+2+c_1e^{2t}\\[0.5mm]y_2(t)=-te^{-t}+\frac{1}{2}e^t+2t+1+c_2e^{-t}\end{array}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\mathbf{y}(t)=\begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}e^{-t}+e^t+t+2+c_1e^{2t}\\ -te^{-t}+\frac{1}{2}e^t+2t+1+c_2e^{-t}\end{pmatrix}.\]

Ten slotte volgt:

\begin{align*} \mathbf{x}(t)=P\mathbf{y}(t)&=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}e^{-t}+e^t+t+2+c_1e^{2t}\\ -te^{-t}+\frac{1}{2}e^t+2t+1+c_2e^{-t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-te^{-t}-\frac{2}{3}e^{-t}+\frac{3}{2}e^t+3t+3+c_1e^{2t}+c_2e^{-t}\\ -2te^{-t}-\frac{2}{3}e^{-t}+2e^t+5t+4+c_1e^{2t}+2c_2e^{-t}\end{pmatrix}\\[2.5mm] &=-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}te^{-t}-\frac{2}{3}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}e^{-t}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}e^t +\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}+c_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}e^{2t}+c_2\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{-t}. \end{align*}

2) Op basis van \(\mathbf{x}_h(t)=c_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}e^{2t}+c_2\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{-t}\) en \(\mathbf{g}(t)=\begin{pmatrix}e^{-t}\\e^t+2t+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}e^{-t}+\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}e^t +\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\) kiezen we:

\[\mathbf{x}_p(t)=\mathbf{v}_1te^{-t}+\mathbf{v}_2e^{-t}+\mathbf{v}_3e^t+\mathbf{v}_4t+\mathbf{v}_5.\]

Invullen geeft dan:

\[\mathbf{v}_1(1-t)e^{-t}-\mathbf{v}_2e^{-t}+\mathbf{v}_3e^t+\mathbf{v}_4=A\mathbf{v}_1te^{-t}+A\mathbf{v}_2e^{-t}+A\mathbf{v}_3e^t+A\mathbf{v}_4t+A\mathbf{v}_5 +\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}e^{-t}+\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}e^t+\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}.\]

Hieruit volgt:

\[A\mathbf{v}_1=-\mathbf{v}_1,\quad A\mathbf{v}_2+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2,\quad A\mathbf{v}_3+\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\mathbf{v}_3,\quad A\mathbf{v}_4+\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}=\mathbf{0} \quad\text{en}\quad A\mathbf{v}_5+\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}=\mathbf{v}_4.\]

Oftewel:

\[(A+I)\mathbf{v}_1=\mathbf{0},\quad(A+I)\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1-\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad (A-I)\mathbf{v}_3=-\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\quad A\mathbf{v}_4=-\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\quad\text{en}\quad A\mathbf{v}_5=\mathbf{v}_4-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}.\]

Dus: \(\mathbf{v}_1\) is een eigenvector van \(A\) behorende bij de eigenwaarde \(-1\): \(\mathbf{v}_1=\alpha\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\). Dan volgt:

\[(A+I)\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1-\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}:\quad\left(\left.\begin{matrix}6&-3\\6&-3\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}\alpha-1\\2\alpha\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}2&-1\\0&0\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}\frac{2}{3}\alpha\\\alpha+1\end{matrix}\right) \quad\Longrightarrow\quad\alpha=-1\quad\text{en}\quad\mathbf{v}_2=-\frac{2}{3}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\quad\text{bijvoorbeeld.}\]

Verder geldt:

\[(A-I)\mathbf{v}_3=-\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}:\quad\left(\left.\begin{matrix}4&-3\\6&-5\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right) \quad\Longrightarrow\quad\mathbf{v}_3=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix},\] \[A\mathbf{v}_4=-\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}:\quad\left(\left.\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right) \quad\Longrightarrow\quad\mathbf{v}_4=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\]

en

\[A\mathbf{v}_5=\mathbf{v}_4-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}:\left(\left.\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right) \quad\Longrightarrow\quad\mathbf{v}_5=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}.\]

Dus:

\[\mathbf{x}(t)=-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}te^{-t}-\frac{2}{3}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}e^{-t}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}e^t +\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}+c_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}e^{2t}+c_2\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{-t}.\]

3) Er geldt: \(\mathbf{x}_h(t)=\Psi(t)\mathbf{c}\) met \(\mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}\) en \(\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{2t}&e^{-t}\\e^{2t}&2e^{-t}\end{pmatrix}\). Dan volgt:

\[\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{2t}&e^{-t}\\e^{2t}&2e^{-t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{2t}&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \Psi^{-1}(t)=\begin{pmatrix}e^{-2t}&0\\0&e^t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2e^{-2t}&-e^{-2t}\\-e^t&e^t\end{pmatrix}.\]

Stel nu: \(\mathbf{x}(t)=\Psi(t)\mathbf{u}(t)\). Dan volgt: \(\mathbf{x}'(t)=\Psi'(t)\mathbf{u}(t)+\Psi(t)\mathbf{u}'(t)\). Invullen geeft dan:

\[\Psi'(t)\mathbf{u}(t)+\Psi(t)\mathbf{u}'(t)=A\Psi(t)\mathbf{u}(t)+\mathbf{g}(t)\quad\Longleftrightarrow\quad\Psi(t)\mathbf{u}'(t)=\mathbf{g}(t) \quad\Longleftrightarrow\quad\mathbf{u}'(t)=\Psi^{-1}(t)\mathbf{g}(t).\]

Immers: \(\Psi'(t)=A\Psi(t)\). Dus:

\[\mathbf{u}'(t)=\Psi^{-1}(t)\mathbf{g}(t)=\begin{pmatrix}2e^{-2t}&-e^{-2t}\\-e^t&e^t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{-t}\\e^t+2t+3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2e^{-3t}-e^{-t}-(2t+3)e^{-2t}\\-1+e^{2t}+(2t+3)e^t\end{pmatrix}.\]

Met behulp van partiële integratie vinden we

\[\int(2t+3)e^{-2t}\,dt=-\frac{1}{2}\int(2t+3)\,de^{-2t}=-\frac{1}{2}(2t+3)e^{-2t}+\int e^{-2t}\,dt=-te^{-2t}-\frac{3}{2}e^{-2}-\frac{1}{2}e^{-2t}+C =-(t+2)e^{-2t}+C\]

en

\[\int(2t+3)e^t\,dt=\int(2t+3)\,de^t=(2t+3)e^t-2\int e^t\,dt=2te^t+3e^t-2e^t+K=(2t+1)e^t+K.\]

Dus:

\[\mathbf{u}(t)=\int\begin{pmatrix}2e^{-3t}-e^{-t}-(2t+3)e^{-2t}\\-1+e^{2t}+(2t+3)e^t\end{pmatrix}\,dt =\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}e^{-3t}+e^{-t}+(t+2)e^{-2t}+c_1\\-t+\frac{1}{2}e^{2t}+(2t+1)e^t+c_2\end{pmatrix}.\]

Ten slotte volgt dan:

\begin{align*} \mathbf{x}(t)=\Psi(t)\mathbf{u}(t)&=\begin{pmatrix}e^{2t}&e^{-t}\\e^{2t}&2e^{-t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-\frac{2}{3}e^{-3t}+e^{-t}+(t+2)e^{-2t}+c_1\\-t+\frac{1}{2}e^{2t}+(2t+1)e^t+c_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-te^{-t}-\frac{2}{3}e^{-t}+\frac{3}{2}e^t+3t+3+c_1e^{2t}+c_2e^{-t}\\ -2te^{-t}-\frac{2}{3}e^{-t}+2e^t+5t+4+c_1e^{2t}+2c_2e^{-t}\end{pmatrix}\\[2.5mm] &=-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}te^{-t}-\frac{2}{3}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}e^{-t}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}e^t +\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}+c_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}e^{2t}+c_2\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{-t}. \end{align*}

---

Laatst gewijzigd op 1 juli 2021