Differentiaalvergelijkingen – Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen – Defecte matrices 1

Diagonaliseerbaarheid

Een matrix \(A\) is niet diagonaliseerbaar als

1. \(A\) niet-reële eigenwaarden heeft, of


2. \(A\) meervoudige reële eigenwaarden heeft, waarvan de meetkundige multipliciteit kleiner is dan de algebraïsche multipliciteit.

Hierbij is de algebraïsche multipliciteit het aantal keren dat de eigenwaarde als nulpunt van het karakteristieke polynoom optreedt en de meetkundige (of geometrische) multipliciteit de dimensie van de bijbehorende eigenruimte oftewel het aantal lineair onafhankelijke eigenvectoren.

Het voorkomen van meervoudige eigenwaarden hoeft dus op zich geen probleem te zijn voor de diagonaliseerbaarheid; als er maar voldoende lineair onafhankelijke eigenvectoren zijn.

Voorbeeld: Beschouw \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) met \(A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&0\\0&2&2\end{pmatrix}\). Dan geldt:

\[|A-rI|=\begin{vmatrix}1-r&2&1\\0&1-r&0\\0&2&2-r\end{vmatrix}=(1-r)\begin{vmatrix}1-r&0\\2&2-r\end{vmatrix}=(1-r)^2(2-r).\]

De eigenwaarden zijn dus: \(r=2\) en \(r=1\) (tweemaal). Dan volgt:

\[r=2:\quad\begin{pmatrix}-1&2&1\\0&-1&0\\0&2&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\text{E}_2=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right\}\]

en

\[r=1:\quad\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&0\\0&2&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\text{E}_1=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}\right\}.\]

De matrix \(A\) is dus diagonaliseerbaar: \(A=PDP^{-1}\) met \(P=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\1&0&-2\end{pmatrix}\) en \(D=\text{diag}(2,1,1)\). Dan volgt: \(P^{-1}=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&-2&-1\\0&1&0\end{pmatrix}\).

Dus: \(\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{2t}&e^t&0\\0&0&e^t\\e^{2t}&0&-2e^t\end{pmatrix}\) is een fundamentaalmatrix. Dan volgt:

\[\Psi(0)=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\1&0&-2\end{pmatrix}=P\quad\Longrightarrow\quad \Psi^{-1}(0)=P^{-1}=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&-2&-1\\0&1&0\end{pmatrix}.\]

Dus:

\[e^{At}=\Psi(t)\Psi^{-1}(0)=\begin{pmatrix}e^{2t}&e^t&0\\0&0&e^t\\e^{2t}&0&-2e^t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&2&1\\1&-2&-1\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^t&2e^{2t}-2e^t&e^{2t}-e^t\\0&e^t&0\\0&2e^{2t}-2e^t&e^{2t}\end{pmatrix}.\]

Ook geldt:

\[e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\1&0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{2t}&0&0\\0&e^t&0\\0&0&e^t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&2&1\\1&-2&-1\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^t&2e^{2t}-2e^t&e^{2t}-e^t\\0&e^t&0\\0&2e^{2t}-2e^t&e^{2t}\end{pmatrix}.\]

Definitie: Een matrix heet defect als deze meervoudige reële eigenwaarden heeft en niet diagonaliseerbaar is.

Dat treedt op als \(A\) een meervoudige eigenwaarde heeft waarvan de algebraïsche multipliciteit (strikt) groter is dan de meetkundige of geometrische multipliciteit.

Voorbeeld: Beschouw \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) met \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&3\end{pmatrix}\). Dan volgt:

\[|A-rI|=\begin{vmatrix}1-r&-1\\1&3-r\end{vmatrix}=r^2-4r+4=(r-2)^2.\]

Dus: \(A\) heeft een tweevoudige (of dubbele) eigenwaarde \(r=2\). Nu volgt:

\[r=2:\quad\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \text{E}_2=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\right\}.\]

Dus: \(A\) is niet diagonaliseerbaar (\(A\) is defect). We weten nu dat \(\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}e^{2t}\) een oplossing is. Voor een tweede (lineair onafhankelijke) oplossing proberen we nu \(\mathbf{x}(t)=(\mathbf{u}t+\mathbf{v})e^{2t}\). Dan volgt: \(\mathbf{x}'(t)=\mathbf{u}(2t+1)e^{2t}+2\mathbf{v}e^{2t}\). Invullen geeft dan

\[\mathbf{u}(2t+1)e^{2t}+2\mathbf{v}e^{2t}=A(\mathbf{u}t+\mathbf{v})e^{2t}\quad\Longleftrightarrow\quad 2\mathbf{u}te^{2t}+(\mathbf{u}+2\mathbf{v})e^{2t}=A\mathbf{u}te^{2t}+A\mathbf{v}e^{2t}.\]

Hieruit volgt dat

\[A\mathbf{u}=2\mathbf{u}\quad\text{en}\quad A\mathbf{v}=\mathbf{u}+2\mathbf{v}\quad\Longleftrightarrow\quad (A-2I)\mathbf{u}=\mathbf{0}\quad\text{en}\quad(A-2I)\mathbf{v}=\mathbf{u}.\]

De vector \(\mathbf{u}\) is dus een eigenvector van \(A\) behorende bij de eigenwaarde \(2\). De vector \(\mathbf{v}\) heet dan een gegeneraliseerde eigenvector van \(A\) behorende bij de eigenwaarde \(2\). Er geldt: \((A-2I)^2\mathbf{v}=(A-2I)\mathbf{u}=\mathbf{0}\). Kiezen we nu \(\mathbf{u}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\), dan volgt:

\[(A-2I)\mathbf{v}=\mathbf{u}:\quad\left(\left.\begin{matrix}-1&-1\\1&1\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&1\\0&0\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right).\]

Dit heeft oneindig veel oplossingen; kies bijvoorbeeld \(\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\). Dan volgt:

\[\mathbf{x}(t)=(\mathbf{u}t+\mathbf{v})e^{2t}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}te^{2t}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}e^{2t} =\begin{pmatrix}-t+1\\t\end{pmatrix}e^{2t}\]

is ook een oplossing van \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\). De Wronskiaan van de twee oplossingen is

\[\begin{vmatrix}-e^{2t}&(-t+1)e^{2t}\\e^{2t}&te^{2t}\end{vmatrix}=-t^{4t}+te^{4t}-e^{4t}=-e^{4t}\neq0.\]

De algemene oplossing is dus: \(\mathbf{x}(t)=c_1\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}e^{2t}+ c_2\left[\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right]e^{2t}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

Dus: \(\Psi(t)=\begin{pmatrix}-e^{2t}&(-t+1)e^{2t}\\e^{2t}&te^{2t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1-t\\1&t\end{pmatrix}e^{2t}\) is een fundamentaalmatrix. Dan volgt:

\[\Psi(0)=\begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\Psi^{-1}(0)=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}.\]

Dus:

\[e^{At}=\Psi(t)\Psi^{-1}(0)=\begin{pmatrix}-1&1-t\\1&t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}e^{2t} =\begin{pmatrix}1-t&-t\\t&1+t\end{pmatrix}e^{2t}.\]

Jordan normaalvorm

Als de matrix \(A\) diagonaliseerbaar is, dan geldt: \(A=PDP^{-1}\) voor zekere inverteerbare matrix \(P\) en diagonaalmatrix \(D\). Als \(D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\), dan is \(e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}\) met \(e^{Dt}=\text{diag}(e^{\lambda_1t},\ldots,e^{\lambda_nt})\).

De matrix \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&3\end{pmatrix}\) is niet diagonaliseerbaar.

Wel geldt: \(A=PJP^{-1}\) met \(P=\begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}\) en \(J=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\). De matrix \(J\) heet de Jordan normaalvorm van de matrix \(A\). Op de hoofddiagonaal staan de eigenwaarden (\(r_1=r_2=2\)) van \(A\). De eerste kolom van \(P\) is een eigenvector van \(A\) behorende bij de eigenwaarde \(2\) en de tweede kolom is een gegeneraliseerde eigenvector.

Stel nu \(\mathbf{x}(t)=P\mathbf{y}(t)\), dan volgt:

\[\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\quad\Longleftrightarrow\quad P\mathbf{y}'(t)=PJP^{-1}P\mathbf{y}(t)\quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf{y}'(t)=J\mathbf{y}(t).\]

Dit stelsel is weliswaar niet (helemaal) ontkoppeld, maar wel veel eenvoudiger dan het oorspronkelijke stelsel:

\[\mathbf{y}'(t)=J\mathbf{y}(t):\quad\left\{\begin{array}{l}y_1'(t)=2y_1(t)+y_2(t)\\[2.5mm]y_2'(t)=2y_2(t).\end{array}\right.\]

Hieruit volgt dat \(y_2(t)=c_2e^{2t}\) en \(y_1(t)=c_1e^{2t}+c_2te^{2t}\). Dus:

\[\mathbf{y}(t)=\begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_1e^{2t}+c_2te^{2t}\\c_2e^{2t}\end{pmatrix} =c_1\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}e^{2t}+c_2\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}e^{2t}.\]

Dus: \(e^{Jt}=\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}e^{2t}\). Dan volgt:

\[e^{At}=Pe^{Jt}P^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}e^{2t} =\begin{pmatrix}1-t&-t\\t&1+t\end{pmatrix}e^{2t}.\]

---

Laatst gewijzigd op 1 juli 2021