Differentiaalvergelijkingen – Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen – Homogene stelsels

Superpositieprincipe

Stelling: Als \(\mathbf{x}_1(t)\) en \(\mathbf{x}_2(t)\) oplossingen zijn van het homogene stelsel

\[\mathbf{x}'(t)=A(t)\mathbf{x}(t),\tag1\]

dan is de lineaire combinatie \(\mathbf{x}(t)=c_1\mathbf{x}_1(t)+c_2\mathbf{x}_2(t)\) ook een oplossing voor elke \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

Bewijs: Dit volgt eenvoudig door invullen van \(\mathbf{x}(t)=c_1\mathbf{x}_1(t)+c_2\mathbf{x}_2(t)\):

\[\mathbf{x}'(t)=c_1\mathbf{x}_1'(t)+c_2\mathbf{x}_2'(t)=c_1A(t)\mathbf{x}_1(t)+c_2A(t)\mathbf{x}_2(t) =A(t)\left(c_1\mathbf{x}_1(t)+c_2\mathbf{x}_2(t)\right)=A(t)\mathbf{x}(t).\]

Stel dat \(A(t)\) een \(n\times n\) matrix is en dat \(\mathbf{x}_1(t),\ldots,\mathbf{x}_n(t)\) oplossingen zijn van (1), dan geldt: \(\{\mathbf{x}_1(t),\ldots,\mathbf{x}_n(t)\}\) is lineair onafhankelijk als

\[c_1\mathbf{x}_1(t)+\cdots+c_n\mathbf{x}_n(t)=\mathbf{0}\quad\Longrightarrow\quad c_1=0,\;\ldots,\;c_n=0.\]

Dat wil zeggen:

\[\Bigg(\mathbf{x}_1(t)\;\ldots\;\mathbf{x}_n(t)\Bigg)\begin{pmatrix}c_1\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\begin{pmatrix}c_1\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\end{pmatrix}.\]

Hieruit volgt dat: \(W(\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n)(t):=\Bigg|\mathbf{x}_1(t)\;\ldots\;\mathbf{x}_n(t)\Bigg|\neq0\).

Dit heet de determinant van Wronski of de Wronskiaan van de oplossingen \(\mathbf{x}_1(t),\ldots,\mathbf{x}_n(t)\).

Stelling van Abel

Stelling: Als \(A(t)\) een (\(n\times n\) matrix is en \(\mathbf{x}_1(t),\ldots,\mathbf{x}_n(t)\) oplossingen zijn van (1) op een open interval \(I\), dan geldt voor alle \(t\in I\):

\[W(t):=W(\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n)(t)=c\cdot e^{-\int(a_{11}(t)+\cdots+a_{nn}(t))\,dt}.\]

Hierbij is \(a_{11}(t)+\cdots+a_{nn}(t)\) het spoor van de matrix \(A(t)\).

Dit betekent dus dat óf \(W(t)=0\) voor alle \(t\in I\) (als \(c=0\)) óf \(W(t)\neq0\) voor alle \(t\in I\) (als \(c\neq0\)).

Het bewijs laten we achterwege; zie opgave 6 van §7.4.

Constante coëfficiënten

Beschouw het homogene stelsel met constante coëfficiënten

\[\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}.\]

Stel nu \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t}\), dan volgt: \(\mathbf{x}'(t)=\lambda\mathbf{v}e^{\lambda t}\). Dus:

\[\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\quad\Longleftrightarrow\quad\lambda\mathbf{v}e^{\lambda t}=A\mathbf{v}e^{\lambda t}\]

en aangezien \(e^{\lambda t}\neq0\) voor alle \(t\) volgt hieruit dat \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\) oftewel: \(\lambda\) is een eigenwaarde van \(A\) en \(\mathbf{v}\) is een bijbehorende eigenvector.

Als \(A\) een \(2\times2\) matrix is, dan zijn er drie mogelijkheden:

1. \(\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}\) met \(\lambda_1\neq\lambda_2\);


2. \(\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}\) met \(\lambda_1=\lambda_2\);


3. \(\lambda_1,\lambda_2\notin\mathbb{R}\): \(\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta\) met \(\beta\neq0\).

De eerste en de laatste mogelijkheid zijn reeds uitgebreid behandeld bij Lineaire Algebra. We zullen hier vooral ingaan op de tweede mogelijkheid, waarbij de matrix \(A\) niet diagonaliseerbaar is; de matrix \(A\) wordt dan wel defect genoemd.

Fasevlak

In het geval van een \(2\times2\) matrix \(A\) kan men voor \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) de banen van de oplossingen schetsen in het \(x_1,x_2\)-vlak. Dit noemt men dan het fasevlak. Zie ook: Lineaire Algebra.

Als beide eigenwaarden \(\lambda_1\) en \(\lambda_2\) van de \(2\times2\) matrix \(A\) reëel zijn, dan noemt men de oorsprong wel een knoop(punt) van het stelsel als beide eigenwaarden hetzelfde teken hebben. Anders heet de oorsprong een zadelpunt van het stelsel. In feite onderscheiden we de volgende mogelijkheden voor de oorsprong:

1. \(\lambda_2 < \lambda_1 < 0\): de oorsprong heet een aantrekker of een put;


2. \(\lambda_2 < 0 < \lambda_1\): de oorspring heet een zadelpunt;


3. \(0 < \lambda_2 < \lambda_1\): de oorsprong heet een afstoter of een bron.

---

Laatst gewijzigd op 1 juli 2021