Lineaire Algebra – Eigenwaarden en eigenvectoren – Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen

We beschouwen stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen van de vorm

\[\left\{\begin{array}{lcl}x_1'(t)&=&a_{11}x_1(t)+\cdots+a_{1n}x_n(t)\\ x_2'(t)&=&a_{21}x_1(t)+\cdots+a_{2n}x_n(t)\\ &\vdots&\\ x_n'(t)&=&a_{n1}x_1(t)+\cdots+a_{nn}x_n(t).\end{array}\right.\]

Hierbij zijn \(x_1(t),\ldots, x_n(t)\) functies van één variabele \(t\) en zijn de coëfficiënten \(a_{11},\ldots,a_{nn}\) reële constanten. Een dergelijk stelsel van eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen kan geschreven worden in de vorm

\[\mathbf{x}'(t)+A\mathbf{x}(t)\quad\text{met}\quad\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\\vdots\\x_n(t)\end{pmatrix}\quad\text{en}\quad A=\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots&a_{1nn}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\ldots&a_{nn}\end{pmatrix}.\]

Zo'n stelsel \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) heet ook wel een continu dynamisch systeem. Hieraan kan eventueel nog een beginvoorwaarde \(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n\) worden toegevoegd. Dan spreekt men van een beginwaardeprobleem:

\[\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\quad\text{met}\quad\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n.\]

Als \(A\) een diagonaalmatrix is, dan spreken we van een niet-gekoppeld stelsel differentiaalvergelijkingen (of een stelsel niet-gekoppelde differentiaalvergelijkingen):

\[\mathbf{x}'(t)=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\ldots&0\\0&\lambda_2&&0\\\vdots&&\ddots&\\0&0&\ldots&\lambda_n\end{pmatrix}\mathbf{x}(t) \quad\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{lcl}x_1'(t)&=&\lambda_1x_1(t)\\x_2'(t)&=&\lambda_2x_2(t)\\&\vdots&\\x_n'(t)&=&\lambda_nx_n(t).\end{array}\right.\]

De oplossing hiervan is eenvoudig: \(x_k(t)=c_ke^{\lambda_kt}\) met \(k=1,2,\ldots,n\). Hierbij zijn de constanten \(c_k\in\mathbb{R}\) met \(k=1,2,\ldots,n\) willekeurig. In vectorvorm kan dit geschreven worden als:

\[\mathbf{x}(t)=c_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}e^{\lambda_1t}+c_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}e^{\lambda_2t} +\cdots+c_n\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\\1\end{pmatrix}e^{\lambda_nt}.\]

Als \(A\) geen diagonaalmatrix is, dan spreekt men van een gekoppeld stelsel differentiaalvergelijkingen (of een stelsel gekopppelde differentiaalvergelijkin- gen). We zoeken nu ook een oplossing van de vorm \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t}\) van zo'n gekoppeld stelsel \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\). We vinden dan \(\mathbf{x}'(t)=\lambda\mathbf{v}e^{\lambda t}\) en dus:

\[\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\quad\Longleftrightarrow\quad\lambda\mathbf{v}e^{\lambda t}=A\mathbf{v}e^{\lambda t}.\]

Aangezien \(e^{\lambda t}\neq0\) volgt hieruit dat \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\). Dus: als \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t}\) een niet-triviale oplossing is van \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\), dan is \(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\) een eigenvector van \(A\) behorende bij de eigenwaarde \(\lambda\).

Men kan aantonen (in de theorie van differentiaalvergelijkingen) dat elk stelsel differentiaalvergelijkingen van de vorm \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) met \(A\) een \(n\times n\) matrix \(n\) lineair onafhankelijke oplossingen \(\mathbf{x}_1(t),\ldots,\mathbf{x}_n(t)\) heeft. De algemene oplossing kan dan geschreven worden in de vorm \(\mathbf{x}(t)=c_1\mathbf{x}_1(t)+\cdots+c_n\mathbf{x}_n(t)\) met \(c_1,\ldots,c_n\in\mathbb{R}\) willekeurig. Deze coëfficiënten kunnen vervolgens vastgelegd worden door een beginvoorwaarde van de vorm \(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n\), zodat de oplossing van zo'n beginwaardeprobleem \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) met \(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n\) uniek is.

Voor een stelsel van de vorm \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) met \(A\) een \(n\times n\) matrix dient men dus \(n\) lineair onafhankelijke oplossingen te vinden. Aangezien er oplossingen bestaan van de vorm \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t}\) met \(\mathbf{v}\) een eigenvector van \(A\), lukt dit steeds als \(A\) diagonaliseerbaar is. Dan bestaat er immers een basis van \(\mathbb{R}^n\) geheel bestaande uit eigenvectoren van \(A\). We hebben dan dus \(n\) lineair onafhankelijke oplossingen van de vorm \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t}\). Als \(A\) niet diagonaliseerbaar is, dan lukt dit niet. Er zullen dan ook nog andere oplossingen gevonden moeten worden. Die gevallen laten we hier buiten beschouwing. Dit probleem zal later opgelost worden bij het vak Differentiaalvergelijkingen.

Voorbeeld: Beschouw \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) met \(A=\begin{pmatrix}-2&-5\\1&4\end{pmatrix}\). Dan volgt:

\[\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}-2-\lambda&-5\\1&4-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1).\]

Verder volgt:

\[\lambda_1=3:\quad\begin{pmatrix}-5&-5\\1&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\]

en

\[\lambda_2=-1:\quad\begin{pmatrix}-1&-5\\1&5\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&5\\0&0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}.\]

De algemene oplossing is dus

\[\mathbf{x}(t)=c_1\mathbf{v}_1e^{\lambda_1t}+c_2\mathbf{v}_2e^{\lambda_2t}=c_1\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}e^{3t} +c_2\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}e^{-t},\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.\]

Uitgeschreven betekent dit dus:

\[\left\{\begin{array}{rcrr}x_1'(t)&=&-2x_1(t)&-5x_2(t)\\[2.5mm]x_2'(t)&=&x_1(t)&+4x_2(t)\end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rcrr}x_1(t)&=&c_1e^{3t}&+5c_2e^{-t}\\[2.5mm]x_2(t)&=&-c_1e^{3t}&-c_2e^{-t}.\end{array}\right.\]

Met bijvoorbeeld de beginvoorwaarde \(\mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}\) vinden we dan:

\[c_1\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}:\quad \left(\left.\begin{matrix}1&5\\-1&-1\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)\sim \left(\left.\begin{matrix}1&5\\0&4\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)\sim \left(\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)\quad\Longrightarrow\quad c_1=-3\quad\text{en}\quad c_2=2.\]

De unieke oplossing van het beginwaardeprobleem \(\mathbf{x}'(t)=\begin{pmatrix}-2&-5\\1&4\end{pmatrix}\mathbf{x}(t)\) en \(\mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}\) is dus

\[\mathbf{x}(t)=-3\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}e^{3t}+2\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}e^{-t} =\begin{pmatrix}-3e^{3t}+10e^{-t}\\3e^{3t}-2e^{-t}\end{pmatrix}.\]

Voor een diagonaliseerbare matrix \(A\) geldt: \(A=PDP^{-1}\) voor zekere inverteerbare matrix \(P\) en een diagonaalmatrix \(D\). Bovendien geldt dan:

\[P=\Bigg(\mathbf{v}_1\;\ldots\;\mathbf{v}_n\Bigg)\quad\text{en}\quad D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\quad\text{met}\quad A\mathbf{v}_k=\lambda_k\mathbf{v}_k,\quad k=1,2,\ldots,n.\]

Stel nu \(\mathbf{x}(t)=P\mathbf{y}(t)\), dan volgt:

\[\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\quad\Longleftrightarrow\quad P\mathbf{y}'(t)=AP\mathbf{y}(t)=PDP^{-1}P\mathbf{y}(t)=PD\mathbf{y}(t).\]

Omdat \(P\) inverteerbaar is, kunnen we (links) vermenigvuldigen met \(P^{-1}\) en volgt dat: \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\quad\Longleftrightarrow\quad\mathbf{y}'(t)=D\mathbf{y}(t)\). Dit laatste is een niet-gekoppeld stelsel. Dit proces noemt men daarom het ontkoppelen van het stelsel differentaalvergelijkingen. Dan volgt:

\[\mathbf{y}(t)=\begin{pmatrix}c_1e^{\lambda_1t}\\\vdots\\c_ne^{\lambda_nt}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{x}(t)=P\mathbf{y}(t)=\Bigg(\mathbf{v}_1\;\ldots\;\mathbf{v}_n\Bigg)\begin{pmatrix}c_1e^{\lambda_1t}\\\vdots\\c_ne^{\lambda_nt}\end{pmatrix} =c_1\mathbf{v}_1e^{\lambda_1t}+\cdots+c_n\mathbf{v}_ne^{\lambda_nt}.\]

Als \(A\) niet-reële eigenwaarden \(\lambda=\alpha\pm i\beta\) met \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) en \(\beta\neq0\) heeft, dan geldt:

\[e^{\lambda t}=e^{(\alpha\pm i\beta)t}=e^{\alpha t}e^{\pm i\beta t}=e^{\alpha t}\left(\cos(\beta t)\pm i\sin(\beta t)\right).\]

De bijbehorende eigenvectoren zijn dan elkaars complex geconjugeerden. Dus: \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\) en \(A\overline{\mathbf{v}}=\overline{\lambda}\,\overline{\mathbf{v}}\). We kunnen dan lineaire combinaties van de vorm \(c_1\mathbf{v}e^{\lambda t}+c_2\overline{\mathbf{v}}e^{\overline{\lambda}t}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{C}\) kiezen die reëel zijn zodat we twee lineair onafhankelijke (reële) oplossingen vinden. Hiervoor kunnen we het reële en het imaginaire deel van \(\mathbf{v}e^{\lambda t}\) kiezen.

Voorbeeld: Beschouw \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) met \(A=\begin{pmatrix}5&-2\\1&3\end{pmatrix}\). Dan volgt: \(|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}5-\lambda&-2\\1&3-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-8\lambda+17=(\lambda-4)^2+1\). De eigenwaarden zijn dus \(\lambda=4\pm i\). Voor \(\lambda=4+i\) vinden we nu:

\[\lambda=4+i:\quad\begin{pmatrix}1-i&-2\\1&-1-i\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1+i\\1\end{pmatrix}\;\text{(bijvoorbeeld)}.\]

Dan volgt:

\[\mathbf{v}e^{\lambda t}=\begin{pmatrix}1+i\\1\end{pmatrix}e^{(4+i)t}=\begin{pmatrix}1+i\\1\end{pmatrix}e^{4t}\left(\cos(t)+i\sin(t)\right) =\begin{pmatrix}\cos(t)-\sin(t)\\\cos(t)\end{pmatrix}e^{4t}+i\begin{pmatrix}\cos(t)+\sin(t)\\\sin(t)\end{pmatrix}e^{4t}.\]

De algemene oplossing is dan:

\[\mathbf{x}(t)=c_1\begin{pmatrix}\cos(t)-\sin(t)\\\cos(t)\end{pmatrix}e^{4t}+c_2\begin{pmatrix}\cos(t)+\sin(t)\\\sin(t)\end{pmatrix}e^{4t}, \quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.\]

Als \(A\) een \(2\times2\) matrix is, dan kunnen we de oplossingen van \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) tekenen in het platte vlak \(\mathbb{R}^2\). De grafiek van zo'n oplossing \(\mathbf{x}(t)\) met \(t\geq0\) heet een baan van het continue dynamische systeem \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\). Zo'n baan is dan afhankelijk van het startpunt \(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^2\).

Laat \(A\) diagonaliseerbaar zijn met eigenvectoren \(\mathbf{v}_1\) en \(\mathbf{v}_2\) behorende bij de eigenwaarden \(\lambda_1\) en \(\lambda_2\) respectievelijk. Dan wordt het gedrag van de oplossingen \(\mathbf{x}(t)=c_1\mathbf{v}_1e^{\lambda_1t}+c_2\mathbf{v}_2e^{\lambda_2t}\) met \(t\geq0\) bepaald door de eigenwaarden.

Als \(\lambda_1 < 0\) en \(\lambda_2 < 0\), dan gaan alle oplossingen naar de oorsprong voor \(t\to\infty\). In dat geval heet de oorsprong een aantrekker (attractor) of put van het dynamische systeem.

Als \(\lambda_1 > 0\) en \(\lambda_2 > 0\), dan gaan alle oplossingen naar oneindig (weg van de oorsprong) voor \(t\to\infty\). In dat geval heet de oorsprong een afstoter of bron van het dynamische systeem.

Als \(\lambda_1 > 0\) en \(\lambda_2 < 0\), dan heet de oorspring een zadelpunt van het dynamische systeem. Sommige banen bewegen naar de oorsprong toe, terwijl andere banen naar oneindig gaan (weg van de oorsprong) afhankelijk van de beginvoorwaarde \(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0\).

In het geval van niet-reële eigenwaarden \(\lambda=\alpha\pm i\beta\) met \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) en \(\beta\neq0\) hebben de banen de vorm van een spiraal en noemt men de oorsprong een spiraalpunt van het dynamische systeem. Als het reële deel \(\alpha\) van de beide complex geconjugeerde eigenwaarden negatief is, dan bewegen deze banen in de richting van de oorsprong en als het reële deel \(\alpha\) positief is, dan bewegen deze naar oneindig (weg van de oorsprong).

Voorbeeld: Beschouw \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) met \(A=\begin{pmatrix}1&2&2\\-1&3&3\\0&-2&-1\end{pmatrix}\). Eerder hebben we gezien dat de eigenwaarden zijn: \(\lambda=1\) en \(\lambda=1\pm2i\). De bijbehorende eigenruimten zijn:

\[\text{E}_1=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\right\},\quad\text{E}_{1+2i}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\1+i\\-1\end{pmatrix}\right\} \quad\text{en}\quad\text{E}_{1-2i}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\1-i\\-1\end{pmatrix}\right\}.\]

Nu volgt met \(e^{(1+2i)t}=e^te^{2it}=e^t\left(\cos(2t)+i\sin(2t)\right)\):

\[\begin{pmatrix}1\\1+i\\-1\end{pmatrix}e^t\left(\cos(2t)+i\sin(2t)\right)=\begin{pmatrix}\cos(2t)\\\cos(2t)-\sin(2t)\\-\cos(2t)\end{pmatrix}e^t +i\begin{pmatrix}\sin(2t)\\\cos(2t)+\sin(2t)\\-\sin(2t)\end{pmatrix}e^t.\]

De algemene oplossing is dan:

\[\mathbf{x}(t)=c_1\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}e^t+c_2\begin{pmatrix}\cos(2t)\\\cos(2t)-\sin(2t)\\-\cos(2t)\end{pmatrix}e^t +c_3\begin{pmatrix}\sin(2t)\\\cos(2t)+\sin(2t)\\-\sin(2t)\end{pmatrix}e^t.\]

---

Laatst gewijzigd op 5 april 2021