Lineaire Algebra – Eigenwaarden en eigenvectoren

Definitie: Een eigenvector van een \(n\times n\) matrix \(A\) is een vector \(\mathbf{x}\neq\mathbf{0}\) zodat \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\) voor zekere \(\lambda\in\mathbb{R}\). Een getal \(\lambda\in\mathbb{R}\) heet een eigenwaarde van \(A\) als er een oplossing \(\mathbf{x}\neq\mathbf{0}\) bestaat van \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\). Zo'n vector \(\mathbf{x}\) heet dan een eigenvector van \(A\) behorende bij de eigenwaarde \(\lambda\).

De karakteristieke vergelijking

Een getal \(\lambda\in\mathbb{R}\) is een eigenwaarde van een \(n\times n\) matrix \(A\) dan en slechts dan als \(\lambda\) voldoet aan de karakteristieke vergelijking

\[\det(A-\lambda I)=0.\]

Het \(n^{\text{e}}\) graads polynoom \(\det(A-\lambda I)\) in \(\lambda\) heet het karakteristieke polynoom van \(A\).

Bewijs: Als \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\) met \(\mathbf{x}\neq\mathbf{0}\), dan volgt: \((A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}\) is een homogene vectorvergelijking met een niet-triviale oplossing \(\mathbf{x}\neq\mathbf{0}\). Dat betekent dat de matrix \(A-\lambda I\) niet inverteerbaar is en dus: \(\det(A-\lambda I)=0\).

Uit de hoofdstelling van de algebra volgt dat

\[\det(A-\lambda I)=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda),\quad\lambda_1\lambda_2,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{C}.\]

Als \(A\) een reële matrix is, dan komen niet-reële eigenwaarden alleen in complex geconjugeerde paren voor.

De (algebraïsche) multipliciteit van een eigenwaarde \(\lambda\) is het aantal keren dat deze als nulpunt voorkomt in de karakteristieke vergelijking.

Als \(\lambda\in\mathbb{R}\) een eigenwaarde is van een \(n\times n\) matrix \(A\), dan heet \(\text{E}_{\lambda}:=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\,|\,A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\}\) de eigenruimte van \(A\) behorende bij de eigenwaarde \(\lambda\). Merk op dat \(\text{E}_{\lambda}=\text{Nul}(A-\lambda I)\).

De meetkundige multipliciteit van een eigenwaarde \(\lambda\) is de dimensie van de eigenruimte \(\text{E}_{\lambda}\).

Stelling: De eigenwaarden van een (boven- of beneden)driehoeksmatrix zijn de elementen op de hoofddiagonaal.

Stelling: Als \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_r\) eigenvectoren zijn van een matrix \(A\) behorende bij de verschillende eigenwaarden \(\lambda_1,\ldots,\lambda_r\) respectievelijk, dan is de verzameling \(\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_r\}\) lineair onafhankelijk.

Bewijs: Stel dat \(\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_r\}\) lineair afhankelijk is, dan is één van de vectoren te schrijven als een lineaire combinatie van de andere vectoren. Neem aan dat \(\mathbf{v}_{p+1}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\mathbf{v}_p\) en dat \(\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_p\}\) lineair onafhankelijk is. Dan geldt:

\[A\mathbf{v}_{p+1}=c_1A\mathbf{v}_1+\cdots+c_pA\mathbf{v}_p\quad\Longrightarrow\quad\lambda_{p+1}\mathbf{v}_{p+1}=c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\lambda_p\mathbf{v}_p.\]

Echter, er geldt ook dat \(\lambda_{p+1}\mathbf{v}_{p+1}=c_1\lambda_{p+1}\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\lambda_{p+1}\mathbf{v}_p\). Trekken we de laatste twee vergelijkingen van elkaar af, dan volgt:

\[\mathbf{0}=c_1(\lambda_1-\lambda_{p+1})\mathbf{v}_1+\cdots+c_p(\lambda_p-\lambda_{p+1})\mathbf{v}_p.\]

Aangezien \(\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_p\}\) lineair onafhankelijk is, volgt hieruit dat alle gewichten gelijk aan nul zijn. Omdat alle eigenwaarden verschillend zijn, volgt dat \(\lambda_i-\lambda_{p+1}\neq0\) voor alle \(i=1,2,\ldots,p\). Dus: \(c_i=0\) voor alle \(i=1,2,\ldots,p\). Maar dan volgt dat \(\mathbf{v}_{p+1}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\mathbf{v}_p=\mathbf{0}\). Dat is in tegenspraak met het feit dat \(\mathbf{v}_{p+1}\) een eigenvector is. Daaruit volgt dat \(\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_r\}\) lineair onafhankelijk is.

Stelling: Als \(A\) een vierkante matrix is, dan hebben \(A\) en \(A^T\) hetzelfde karaketristieke polynoom en dus dezelfde eigenwaarden.

Bewijs: \(\det(A^T-\lambda I)=\det(A^T-\lambda I^T)=\det((A-\lambda I)^T)=\det(A-\lambda)\).

Definitie: Twee \(n\times n\) matrices \(A\) en \(B\) heten gelijkvormig als er een inverteerbare matrix \(P\) bestaat zodat \(A=PBP^{-1}\).

Merk op dat als \(A=PBP^{-1}\), dan geldt: \(B=QAQ^{-1}\) met \(Q=P^{-1}\).

Stelling: Als de \(n\times n\) matrices \(A\) en \(B\) gelijkvormig zijn, dan hebben ze hetzelfde karakteristieke polynoom en dus dezelfde eigenwaarden.

Bewijs: Als \(A=PBP^{-1}\), dan volgt:

\[A-\lambda I=PBP^{-1}-\lambda PP^{-1}=P(BP^{-1}-\lambda P^{-1})=P(B-\lambda I)P^{-1}.\]

Hieruit volgt dat

\[\det(A-\lambda I)=\det(P(B-\lambda I)P^{-1})=\det(P)\cdot\det(B-\lambda I)\cdot\det(P^{-1})=\det(B-\lambda I),\]

want \(\det(P)\cdot\det(P^{-1})=\det(PP^{-1})=\det(I)=1\).

Stelling: Als \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{C}\) alle eigenwaarden zijn van een \(n\times n\) matrix \(A\), geteld met multipliciteit, dan geldt:

\[\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=\det(A)\quad\text{en}\quad\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=\text{tr}(A),\]

waarbij \(\text{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}\) het spoor (in het Engels: trace) van de matrix \(A\) is.

---

Laatst gewijzigd op 5 april 2021