OnderwijsLineaire Algebra – Eigenwaarden en eigenvectoren – Niet-reële eigenwaarden
Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix. Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen. Een consequentie is dan wel dat de bijbehorende eigenvectoren ook complexe coördinaten hebben. In plaats van vectoren in \(\mathbb{R}^n\) beschouwen we dan vectoren in \(\mathbb{C}^n\):
Definitie: Een vector \(\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\) met \(\mathbf{x}\neq\mathbf{0}\) heet een eigenvector van een \(n\times n\) matrix \(A\) als \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\) voor zekere \(\lambda\in\mathbb{C}\). Zo'n getal \(\lambda\in\mathbb{C}\) heet dan een eigenwaarde van \(A\). Een vector \(\mathbf{x}\neq\mathbf{0}\) met \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\) heet een eigenvector van \(A\) behorende bij de eigenwaarde \(\lambda\).
We zullen alleen reële matrices (met reële elementen) beschouwen. Dit betekent dat het karakteristieke polynoom alleen reële coëfficiënten heeft en dat niet-reële nulpunten (eigenwaarden dus) alleen in complex geconjugeerde paren kunnen voorkomen.
Voorbeeld: Stel dat \(A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\), dan volgt: \(\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}-\lambda&-1\\1&-\lambda\end{vmatrix} =\lambda^2+1\). De (complexe) eigenwaarden van \(A\) zijn dus \(\lambda_1=i\) en \(\lambda_2=-i\). Voor de bijbehorende eigenvectoren vinden we dan:
\[\lambda_1=i:\quad\begin{pmatrix}-i&-1\\1&-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-i\\0&0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\text{E}_i=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}\right\}\]en
\[\lambda_2=-i:\quad\begin{pmatrix}i&-1\\1&i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&i\\0&0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\text{E}_{-i}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}-i\\1\end{pmatrix}\right\}.\]Omdat \(A\) geen reële eigenwaarden heeft, is \(A\) niet diagonaliseerbaar.
Definitie: Als \(\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\) dan is \(\overline{\mathbf{x}}\in\mathbb{C}^n\) de complex geconjugeerde
van \(\mathbf{x}\), de vector waarvan alle coördinaten de complex geconjugeerden zijn van de overeenkomstige coördinaten
van \(\mathbf{x}\). Elke vector \(\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\) kan geschreven worden in de vorm \(\text{Re}(\mathbf{x})+i\,\text{Im}(\mathbf{x})\),
waarbij \(\text{Re}(\mathbf{x})\) en \(\text{Im}(\mathbf{x})\) vectoren in \(\mathbb{R}^n\) zijn; respectievelijk het reëke en
het imaginaire deel van de vector \(\mathbf{x}\).
Als \(A\) een willekeurige \(m\times n\) matrix is met complexe elementen, dan is \(\overline{A}\) de matrix die uit \(A\) ontstaat door elk
element te vervangen door z'n complex geconjugeerde.
Als \(A\) nu een reële \(n\times n\) matrix is, dan geldt dat \(A=\overline{A}\) en dus: \(\overline{A\mathbf{x}}=\overline{A}\overline{\mathbf{x}}=A\overline{\mathbf{x}}\). Dus: als \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\), dan volgt dat \(A\overline{\mathbf{x}}=\overline{A\mathbf{x}}=\overline{\lambda\mathbf{x}}=\overline{\lambda}\overline{\mathbf{x}}\). Dus: als \(\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\) een eigenvector is van \(A\) behorende bij de eigenwaarde \(\lambda\in\mathbb{C}\), dan is de complex geconjugeerde \(\overline{\mathbf{x}}\in\mathbb{C}^n\) ook een eigenvector van \(A\) en wel behorende bij de eigenwaarde \(\overline{\lambda}\in\mathbb{C}\). Bij reële matrices komen niet-reële eigenwaarden dus alleen in complex geconjugeerde paren voor en de bijbehorende eigenvectoren zijn ook elkaars complex geconjugeerden.
Voorbeeld: Stel dat \(A=\begin{pmatrix}5&-2\\1&3\end{pmatrix}\), dan volgt: \(\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}5-\lambda&-2\\1&3-\lambda\end{vmatrix} =\lambda^2-8\lambda+17=(\lambda-4)^2+1\). De (complexe) eigenwaarden zijn dus \(\lambda=4\pm i\). Voor de berekening van de eigenvectoren kiezen we nu één van de twee complex geconjugeerde eigenwaarden:
\[\lambda=4+i:\quad\begin{pmatrix}1-i&-2\\1&-1-i\end{pmatrix}.\]Omdat \(\lambda=4+i\) een eigenwaarde is, weten we dat deze matrix slechts één pivotpositie heeft. We hoeven dat niet te controleren door te vegen (dat is lastig rekenwerk met complexe getallen), maar bepalen een oplossing door naar de eerste of de tweede rij te kijken. Alle andere eigenvectoren zijn immers veelvouden van die ene oplossing. Dus:
\[\text{E}_{4+i}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}2\\1-i\end{pmatrix}\right\}\quad\text{of}\quad\text{E}_{4+i}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1+i\\1\end{pmatrix}\right\}.\]De eigenvectoren van \(A\) behorende bij de eigenwaarde \(\lambda=4-i\) volgen nu eenvoudig door de complex geconjugeerden te nemen (overal \(i\) vervangen door \(−i\)):
\[\text{E}_{4ii}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}2\\1+i\end{pmatrix}\right\}\quad\text{of}\quad\text{E}_{4-i}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1-i\\1\end{pmatrix}\right\}.\]Het gaat niet altijd zo eenvoudig. Toch proberen we het rekenwerk te minimaliseren. Veel rekenwerk met complexe getallen is immers vragen om moeilijkheden (rekenfouten).
Voorbeeld: Stel dat \(A=\begin{pmatrix}1&2&2\\-1&3&3\\0&-2&-1\end{pmatrix}\), dan volgt:
\begin{align*} \det(A-\lambda I)&=\begin{vmatrix}1-\lambda&2&2\\-1&3-\lambda&3\\0&-2&-1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)\begin{vmatrix}3-\lambda&3\\-2&-1-\lambda\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}2&2\\-2&-1-\lambda\end{vmatrix}\\[2.5mm] &=(1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda+3)-2-2\lambda+4=-\lambda^3+3\lambda^2-7\lambda+5. \end{align*}Nu moeten we proberen dit karakteristieke polynoom in (complexe) factoren te ontbinden. Een derdegraads polynoom (met reëele coëefficiëenten) kan hooguit twee niet-reëele nulpunten hebben, omdat die alleen in complex geconjugeerde paren kunnen voorkomen. Er moet dus minstens één reëeel nulpunt zijn. Door proberen vinden we dat \(\lambda=1\) een eigenwaarde is. Dus:
\[\det(A-\lambda I)=-(\lambda^3-3\lambda^2+7\lambda-5)=-(\lambda-1)(\lambda^2-2\lambda+5)=-(\lambda-1)\left[(\lambda-1)^2+4\right].\]De andere twee (complexe) eigenwaarden zijn dus: \(\lambda=1\pm2i\).
Het loont soms de moeite om de determinant \(|A − \lambda I|\) uit te rekenen door handig te vegen, waardoor het karakteristieke polynoom min of meer ’automatisch’ in factoren wordt ontbonden. Het is daarbij echter niet altijd eenvoudig om de handigste veegstappen te vinden:
\begin{align*} |A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}1-\lambda&2&2\\-1&3-\lambda&3\\0&-2&-1-\lambda\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1-\lambda&0&1-\lambda\\-1&3-\lambda&3\\0&-2&-1-\lambda\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}1-\lambda&0&0\\-1&3-\lambda&4\\0&-2&-1-\lambda\end{vmatrix}\\[2.5mm] &=(1-\lambda)\begin{vmatrix}3-\lambda&4\\-2&-1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda+5)=-(\lambda-1)\left[(\lambda-1)^2+4\right]. \end{align*}Het bepalen van de eigenruimte \(\text{E}_1\) bij de eigenwaarde \(\lambda=1\) gaat als voorheen:
\[\lambda=1:\quad\begin{pmatrix}0&2&2\\-1&2&3\\0&-2&-2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&1&1\\-1&0&1\\0&0&0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\text{E}_1=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\right\}.\]Voor de eigenruimten behorende bij \(\lambda=1\pm2i\) gaan we als volgt te werk. Eerst kiezen we één van de twee eigenwaarden en proberen met zo min mogelijk rekenwerk een bijbehorende eigenvector te bepalen. Alle andere eigenvectoren zijn dan immers veelvouden daarvan. De eigenvectoren behorende bij de andere eigenwaarde zijn dan de complex geconjugeerden. Dus:
\[\lambda=1+2i:\quad\begin{pmatrix}-2i&2&2\\-1&2-2i&3\\0&-2&-2-2i\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-i&1&1\\-1&2-2i&3\\0&1&1+i\end{pmatrix}.\]Met slechts een paar kleine vereenvoudigingen (en soms een enkele eenvoudige veegstap) kunnen we hieruit de eigenvectoren bepalen. Kijk hiervoor naar de eerste en de laatste rij:
\[\left\{\begin{array}{r}-ix_1+x_2+x_3=0\\[2.5mm]x_2+(1+i)x_3=0\end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad x_2=1+i,\quad x_3=-1,\quad ix_1=x_2+x_3=i\quad\Longrightarrow\quad x_1=1.\]Zo vinden we dus vrij eenvoudig:
\[\text{E}_{1+2i}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\1+i\\-1\end{pmatrix}\right\}\quad\text{en dus}\quad\text{E}_{1-2i}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\1-i\\-1\end{pmatrix}\right\}.\]Voor complexe getallen \(z=x+iy\) met \(x,y\in\mathbb{R}\) kennen we ook de (polaire) schrijfwijze \(z=re^{i\varphi}\) met \(r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\) en \(\varphi=\text{arg}(z)\). In matrixnotatie kunnen we dit schrijven als:
\[C=\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\frac{x}{r}&-\frac{y}{r}\\\frac{y}{r}&\frac{x}{r}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos(\varphi)&-\sin(\varphi)\\\sin(\varphi)&\cos(\varphi)\end{pmatrix}.\]De eigenwaarden van de matrix \(C\) zijn \(\lambda=x\pm iy\). Ga na!
De matrix \(\begin{pmatrix}\cos(\varphi)&-\sin(\varphi)\\\sin(\varphi)&\cos(\varphi)\end{pmatrix}\) is de standaardmatrix van de rotatie om de oorsprong over een hoek \(\varphi\) in de positieve richting (tegen de wijzers van de klok in). Omdat vermenigvuldiging met de matrix \(\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}\) eenvoudig een scalaire vermenigvuldiging is met het getal \(r=|\lambda|\) geldt dus dat de lineaire afbeelding \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) met \(T(\mathbf{x})=C\mathbf{x}\) een rotatie (draaiing) om de oorsprong over een hoek \(\varphi\) (in positieve richting) voorstelt, gevolgd door een scalaire vermenigvuldiging (schaling) met het getal \(r=|\lambda|\). Iets algemener geldt:
Stelling: Als \(A\) een \(2\times2\) matrix is met een (complexe) eigenwaarde \(\lambda=x-iy\) met \(x,y\in\mathbb{R}\) en \(y\neq0\), dan geldt:
\[A=PCP^{-1}\quad\text{met}\quad C=\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}\quad\text{en}\quad P=\Bigg(\text{Re}(\mathbf{v})\;\text{Im}(\mathbf{v})\Bigg),\]waarbij \(\mathbf{v}\in\mathbb{C}^2\) een eigenvector is van \(A\) behorende bij de eigenwaarde \(\lambda=x-iy\).
Voorbeeld: Eerder hebben we gezien dat de eigenwaarden van de matrix \(A=\begin{pmatrix}5&-2\\1&3\end{pmatrix}\) gelijk zijn aan \(\lambda=4\pm i\). Ook hebben we gezien dat een bij \(\lambda=4-i\) behorende eigenvector bijvoorbeeld gelijk is aan \(\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1-i\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+i\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}\). Dus:
\[\text{Re}(\mathbf{v})=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\quad\text{en}\quad\text{Im}(\mathbf{v})=\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad P=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}\quad\text{en}\quad P^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}.\]Nu geldt inderdaad (ga na!):
\[PCP^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-1\\1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5&-2\\1&3\end{pmatrix}=A.\]Laatst gewijzigd op 5 april 2021
