Lineaire Algebra – Eigenwaarden en eigenvectoren – Diagonaliseerbaarheid

Definitie: Een vierkante matrix \(A\) heet diagonaliseerbaar als deze gelijkvormig is met een diagonaalmatrix \(D\), dat wil zeggen: als er een diagonaalmatrix \(D\) en een inverteerbare matrix \(P\) bestaan zodat \(A=PDP^{-1}\).

Stelling: Een \(n\times n\) matrix \(A\) is diagonaliseerbaar dan en slechts dan als \(A\) \(n\) lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft.

Er geldt dat \(A=PDP^{-1}\) met \(D\) een diagonaalmatrix dan en slechts dan als de kolommen van \(P\) \(n\) lineair onafhankelijke eigenvectoren van \(A\) zijn. In dat geval zijn de diagonaalelementen van \(D\) eigenwaarden van \(A\) behorende bij, respectievelijk, de eigenvectoren in \(P\).

Bewijs: Laat \(P\) een willekeurige \(n\times n\) matrix zijn met kolommen \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\) en \(D\) een willekeurige diagonaalmatrix met diagonaalelementen \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\), dan geldt:

\[AP=A\Bigg(\mathbf{v}_1\;\mathbf{v}_2\;\ldots\;\mathbf{v}_n\Bigg)=\Bigg(A\mathbf{v}_1\;A\mathbf{v}_2\;\ldots\;A\mathbf{v}_n\Bigg) \quad\text{en}\quad PD=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\ldots&0\\0&\lambda_2&\ldots&0\\\vdots&&\ddots&\vdots\\0&0&\ldots&\lambda_n\end{pmatrix} =\Bigg(\lambda_1\mathbf{v}_1\;\lambda_2\mathbf{v}_2\;\ldots\;\lambda_n\mathbf{v}_n\Bigg).\]

Dus, als \(A\) diagonaliseerbaar is en \(A=PDP^{-1}\), dan geldt \(AP=PD\) en dus \(A\mathbf{v}_k=\lambda_k\mathbf{v}_k\) met \(k=1,2,\ldots,n\). Omdat \(P\) inverteerbaar is, zijn de kolommen \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\) lineair onafhankelijk.

Omgekeerd, als \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\) \(n\) lineair onafhankelijke eigenvectoren van \(A\) zijn behorende bij de eigenwaarden \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) respectievelijk, dan kunnen we de matrices \(P\) en \(D\) construeren zoals hierboven. Dan geldt: \(AP=PD\). Omdat de kolommen van \(P\) lineair onafhankelijk zijn, is \(P\) inverteerbaar waaruit volgt dat \(A=PDP^{-1}\).

Stelling: Een \(n\times n\) matrix met \(n\) verschillende (reële) eigenwaarden is diagonaliseerbaar.

Stelling: Een \(n\times n\) matrix met minder dan \(n\) (reële) eigenwaarden, geteld met multipliciteit, is niet diagonaliseerbaar.

Stelling: Een \(n\times n\) matrix met \(n\) reële eigenwaarden, geteld met multipliciteit, is alleen diagonaliseerbaar als voor elke eigenwaarde de algebrïsche multipliciteit gelijk is aan de meetkundige multipliciteit.

Voorbeelden

1) Beschouw \(A=\begin{pmatrix}2&3\\3&-6\end{pmatrix}\). Dan geldt: \(\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}2-\lambda&3\\3&-6-\lambda\end{vmatrix} =\lambda^2+4\lambda-21=(\lambda+7)(\lambda-3)\). Hieruit volgt dat \(A\) twee verschillende eigenwaarden \(\lambda_1=-7\) en \(\lambda_2=3\) heeft. Dus: \(A\) is diagonaliserbaar. Om een matrix \(P\) te vinden zodat \(A=PDP^{-1}\) volgt nu:

\[\lambda_1=-7:\quad\begin{pmatrix}9&3\\3&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}3&1\\0&0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\]

en

\[\lambda_2=3:\quad\begin{pmatrix}-1&3\\3&-9\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-1&3\\0&0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}.\]

Hieruit volgt bijvoorbeel dat \(A=PDP^{-1}\) met \(P=\begin{pmatrix}-1&3\\3&1\end{pmatrix}\) en \(D=\begin{pmatrix}-7&0\\0&3\end{pmatrix}\). Echter, er geldt bijvoorbeeld ook dat \(A=PDP^{-1}\) met \(P=\begin{pmatrix}3&1\\1&-3\end{pmatrix}\) en \(D=\begin{pmatrix}3&0\\0&-7\end{pmatrix}\) of bijvoorbeeld \(A=PDP^{-1}\) met \(P=\begin{pmatrix}9&-1\\3&3\end{pmatrix}\) en \(D=\begin{pmatrix}3&0\\0&-7\end{pmatrix}\).

2) Beschouw \(A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\). Dan geldt: \(\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}-\lambda&-1\\1&-\lambda\end{vmatrix} =\lambda^2+1\). Hieruit volgt dat \(A\) geen reële eigenwaarden heeft, waaruit volgt dat \(A\) niet diagonaliseerbaar is.

3) Beschouw \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&3\end{pmatrix}\). Dan geldt: \(\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}1-\lambda&-1\\1&3-\lambda\end{vmatrix} =\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2\). Hieruit volgt dat \(\lambda=2\) de enige eigenwaarde is met algebraïsche multipliciteit \(2\). Nu volgt:

\[\lambda=2:\quad\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad E_2=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right\}.\]

De meetkundige multipliciteit van de eigenwaarde \(\lambda=2\) is dus gelijk aan \(1\). De matrix \(A\) is dus niet diagonaliseerbaar.

Als een vierkante matrix \(A\) diagonaliseerbaar is, dan is het vrij eenvoudig om machten van \(A\) te berekenen. Neem aan dat \(A=PDP^{-1}\) met \(P\) een inverteerbare matrix en \(D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\), dan geldt:

\[A^k=(PDP^{-1})^k=\underbrace{PDP^{-1}PDP^{-1}\cdots PDP^{-1}}_{k\;\text{factors}}=PD^kP^{-1}\]

met \(D^k=\text{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)\).

Voorbeelden

1) Als \(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&2\\2&0&-1\end{pmatrix}\), dan geldt

\[\det(A_\lambda I)=\begin{vmatrix}1-\lambda&0&0\\-2&1-\lambda&2\\2&0&-1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)\begin{vmatrix}1-\lambda&2\\0&-1-\lambda\end{vmatrix} =(1-\lambda)^2(-1-\lambda).\]

De eigenwaarden van \(A\) zijn dus \(\lambda_1=1\) met algebraïsche multipliciteit \(2\) en \(\lambda_2=-1\) met algebraïsche multipliciteit \(1\). Dan geldt:

\[\lambda_1=1:\quad\begin{pmatrix}0&0&0\\-2&0&2\\2&0&-2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\text{E}_1=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right\}\]

en

\[\lambda_2=-1:\quad\begin{pmatrix}2&0&0\\-2&2&2\\2&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\text{E}_{-1}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right\}.\]

Dus geldt dat \(A=PDP^{-1}\) met \(P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}\) en \(D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\). Hieruit volgt bijvoorbeeld dat \(A^{100}=PD^{100}P^{-1}=PIP^{-1}=PP^{-1}=I\) en \(A^{151}=PD^{151}P^{-1}=PDP^{-1}=A\).

2) Als \(A=\begin{pmatrix}5&-3\\6&-4\end{pmatrix}\), dan geldt

\[\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}5-\lambda&-3\\6&-4-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda+1).\]

De eigenwaarden van \(A\) zijn dus \(\lambda_1=2\) en \(\lambda_2=-1\), beide met algebraïsche multipliciteit \(1\). Dan geldt:

\[\lambda_1=2:\quad\begin{pmatrix}3&-3\\6&-6\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \text{E}_2=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right\}\]

en

\[\lambda_2=-1:\quad\begin{pmatrix}6&-3\\6&-3\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}2&-1\\0&0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \text{E}_{-1}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\right\}.\]

Dus geldt dat \(A=PDP^{-1}\) met \(P=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\) en \(D=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}\) bijvoorbeeld. Als een voorbeeld volgt hieruit dat

\[A^{10}=PD^{10}P^{-1}=P\begin{pmatrix}2^{10}&0\\0&(-1)^{10}\end{pmatrix}P^{-1} =\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1024&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2048&-1024\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2047&-1023\\2046&-1022\end{pmatrix}.\]

---

Laatst gewijzigd op 5 april 2021