OnderwijsLineaire Algebra – Eigenwaarden en eigenvectoren – Eigenvectoren en lineaire afbeeldingen
Laat \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) een lineaire afbeelding zijn met standaardmatrix \(A\). Dan is \(A\) een \(m\times n\) matrix gegeven door \(\Bigg(T(\mathbf{e}_1)\;\ldots\;T(\mathbf{e}_n)\Bigg)\) met \(\{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\}\) de standaardbasis van \(\mathbb{R}^n\). Stel nu dat \(\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_n\}\) een willekeurige basis van \(\mathbb{R}^n\) is en \(\mathcal{C}=\{\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_m\}\) een willekeurige basis van \(\mathbb{R}^m\). Dan: wat is de relatie tussen \([\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}\) en \(\left[T(\mathbf{x})\right]_{\mathcal{C}}\) voor een willekeurige vector \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\)?
Als \(\mathbf{x}=r_1\mathbf{b}_1+\cdots+r_n\mathbf{b}_n\), dan is \([\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_n\end{pmatrix}\) en \(T(\mathbf{x})=T(r_1\mathbf{b}_1+\cdots+r_n\mathbf{b}_n)=r_1T(\mathbf{b}_1)+\cdots+r_nT(\mathbf{b}_n)\). Hieruit volgt dat
\[\left[T(\mathbf{x})\right]_{\mathcal{C}}=r_1\left[T(\mathbf{b}_1)\right]_{\mathcal{C}}+\cdots+r_n\left[T(\mathbf{b}_n)\right]_{\mathcal{C}} \quad\Longrightarrow\quad\left[T(\mathbf{x})\right]_{\mathcal{C}}=M[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}\quad\text{met}\quad M=\Bigg(\left[T(\mathbf{b}_1)\right]_{\mathcal{C}}\;\ldots\;\left[T(\mathbf{b}_n)\right]_{\mathcal{C}}\Bigg).\]Deze matrix \(M\) is de matrixrepresentatie van de lineaire afbeelding \(T\) ten opzichte van de bases \(\mathcal{B}\) en \(\mathcal{C}\).
In het speciale gavel dat \(m=n\) hebben we een lineaire afbeelding \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) en kunnen we de basis \(\mathcal{C}\) gelijk aan \(\mathcal{B}\) kiezen. In dat geval heet de matrix \(M=\left[T\right]_{\mathcal{B}}\) de matrixrepresentatie van de lineaire afbeelding \(T\) ten opzichte van de basis \(\mathcal{B}\) en geldt: \(\left[T(\mathbf{x})\right]_{\mathcal{B}}=\left[T\right]_{\mathcal{B}}[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}\).
Stelling: Neem aan dat \(A=PDP^{-1}\), waarbij \(D\) een \(n\times n\) diagonaalmatrix is. Als \(\mathcal{B}\) de basis van \(\mathbb{R}^n\) is die bestaat uit de kolommen van \(P\), dan is \(D\) de matrixrepresentatie van de lineaire afbeelding \(\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}\) ten opzichte van de basis \(\mathcal{B}\).
Bewijs: Laat \(P=\Bigg(\mathbf{b}_1\;\ldots\;\mathbf{b}_n\Bigg)\) en \(\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_n\}\). Dan geldt: \(P[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=\mathbf{x}\) en \([\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=P^{-1}\mathbf{x}\). Als \(T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\) voor \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\), dan:
\[\left[T\right]_{\mathcal{B}}=\Bigg(\left[T(\mathbf{b}_1)\right]_{\mathcal{B}}\;\ldots\;\left[T(\mathbf{b}_n)\right]_{\mathcal{B}}\Bigg) =\Bigg(\left[A\mathbf{b}_1\right]_{\mathcal{B}}\;\ldots\;\left[A\mathbf{b}_n\right]_{\mathcal{B}}\Bigg) =\Bigg(P^{-1}A\mathbf{b}_1\;\ldots\;P^{-1}A\mathbf{b}_n\Bigg)=P^{-1}A\Bigg(\mathbf{b}_1\;\ldots\;\mathbf{b}_n\Bigg)=P^{-1}AP.\]Omdat \(A=PDP^{-1}\) volgt hieruit dat \(\left[T\right]_{\mathcal{B}}=P^{-1}AP=D\).
Merk op dat in het bewijs niet wordt gebruikt dat \(D\) een diagonaalmatrix is. Dus, deze matrix kan worden vervangen door elke \(B\) die gelijkvormig is met \(A\). Als \(A=PBP^{-1}\) en \(\mathcal{B}\) is de basis van \(\mathbb{R}^n\) bestaande uit de kolommen van \(P\), dan is \(\left[T\right]_{\mathcal{B}}=B\).
Laatst gewijzigd op 5 april 2021
