OnderwijsSpeciale Functies – Besselfuncties – Eigenschappen
De Besselfunctie \(J_{\nu}(z)\) van de eerste soort van orde \(\nu\) wordt gedefinieerd door
\[J_{\nu}(z)=\frac{(z/2)^{\nu}}{\Gamma(\nu+1)}\,{}_0F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{-}{\nu+1}\,;\,-\frac{z^2}{4}\right) =\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(\nu+k+1)\,k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}\tag1\]en de Besselfunctie \(Y_{\nu}(z)\) van de tweede soort van orde \(\nu\) wordt gegeven door
\[Y_{\nu}(z):=\frac{J_{\nu}(z)\cos\nu\pi-J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi}\;\;\text{voor}\;\;\nu\notin\{0,1,2,\ldots\} \quad\text{en}\quad Y_n(z):=\lim\limits_{\nu\rightarrow n}Y_{\nu}(z)\;\;\text{voor}\;\;n\in\{0,1,2,\ldots\}.\tag2\]Beide zijn oplossingen van de Bessel differentiaalvergelijking
\[z^2y''(z)+zy'(z)+\left(z^2-\nu^2\right)y(z)=0,\quad\nu\geq0.\]Toepassing van de stelling van Abel op deze Bessel differentiaalvergelijking toont aan dat de Wronskiaan \(W(z)\) van twee oplossingen voldoet aan de differentiaalvergelijking \(W'(z)+\displaystyle\frac{1}{z}W(z)=0\), waaruit volgt dat \(W(z)=\displaystyle\frac{c}{z}\) voor zekere constante \(c\). In feite geldt
Stelling: \(W(J_{\nu},J_{-\nu})(z)=-\displaystyle\frac{2\sin\nu\pi}{\pi z}\) en \(W(J_{\nu},Y_{\nu})(z)=\displaystyle\frac{2}{\pi z}\).
Voor \(\nu\geq0\) volgt hieruit dat \(J_{\nu}(z)\) en \(J_{-\nu}(z)\) lineair onafhankelijk zijn als \(\nu\notin\{0,1,2,\ldots\}\) en dat \(J_{\nu}(z)\) en \(Y_{\nu}(z)\) lineair onafhankelijk zijn voor alle \(\nu\geq0\).
Bewijs: Merk op dat
\begin{align*} W(J_{\nu},Y_{\nu})(z)&=J_{\nu}(z)Y_{\nu}'(z)-J_{\nu}'(z)Y_{\nu}(z) =J_{\nu}(z)\frac{J_{\nu}'(z)\cos\nu\pi-J_{-\nu}'(z)}{\sin\nu\pi}-J_{\nu}'(z)\frac{J_{\nu}(z)\cos\nu\pi-J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi}\\[2.5mm] &=-\frac{J_{\nu}(z)J_{-\nu}'(z)-J_{\nu}'(z)J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi}=-\frac{W(J_{\nu},J_{-\nu})(z)}{\sin\nu\pi}. \end{align*}Nu volgt met de definitie (1) dat
\[J_{\nu}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(\nu+k+1)\,k!}\cdot\frac{z^{\nu+2k}}{2^{\nu+2k}} \quad\Longrightarrow\quad J_{\nu}'(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(\nu+2k)}{\Gamma(\nu+k+1)\,k!}\cdot\frac{z^{\nu+2k-1}}{2^{\nu+2k}}\]en
\[J_{-\nu}(z)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{\Gamma(-\nu+m+1)\,m!}\cdot\frac{z^{-\nu+2m}}{2^{-\nu+2m}} \quad\Longrightarrow\quad J_{-\nu}'(z)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m(-\nu+2m)}{\Gamma(-\nu+m+1)\,m!}\cdot\frac{z^{-\nu+2m-1}}{2^{-\nu+2m}}.\]Dus geldt
\begin{align*} z\,W(J_{\nu},J_{-\nu})(z)&=z\left[J_{\nu}(z)J_{-\nu}'(z)-J_{\nu}'(z)J_{-\nu}(z)\right]\\[2.5mm] &=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+m}(-\nu+2m)}{\Gamma(\nu+k+1)\Gamma(-\nu+m+1)\,k!\,m!} \cdot\frac{z^{2k+2m}}{2^{2k+2m}}-\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+m}(\nu+2k)}{\Gamma(\nu+k+1)\Gamma(-\nu+m+1)\,k!\,m!}\cdot\frac{z^{2k+2m}}{2^{2k+2m}}\\[2.5mm] &=-\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+m}(2\nu+2k-2m)}{\Gamma(\nu+k+1)\Gamma(-\nu+m+1)\,k!\,m!}\cdot\frac{z^{2k+2m}}{2^{2k+2m}}. \end{align*}Hieruit volgt dat
\[\lim\limits_{z\rightarrow 0}z\,W(J_{\nu},J_{-\nu})(z)=-\frac{2\nu}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(-\nu+1)} =-\frac{2\nu}{\nu\Gamma(\nu)\Gamma(1-\nu)}=-\frac{2\sin\nu\pi}{\pi}.\]Met behulp van de definitie (1) volgt
\[\frac{d}{dz}\left[z^{\nu}J_{\nu}(z)\right] =\frac{d}{dz}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(\nu+k+1)\,k!}\cdot\frac{z^{2\nu+2k}}{2^{\nu+2k}} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2\nu+2k)}{\Gamma(\nu+k+1)\,k!}\cdot\frac{z^{2\nu+2k-1}}{2^{\nu+2k}} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(\nu+k)\,k!}\cdot\frac{z^{2\nu+2k-1}}{2^{\nu+2k-1}}=z^{\nu}J_{\nu-1}(z).\]Dus geldt
\[\frac{d}{dz}\left[z^{\nu}J_{\nu}(z)\right]=z^{\nu}J_{\nu-1}(z)\quad\Longleftrightarrow\quad zJ_{\nu}'(z)+\nu J_{\nu}(z)=zJ_{\nu-1}(z).\tag3\]Evenzo geldt
\[\frac{d}{dz}\left[z^{-\nu}J_{\nu}(z)\right] =\frac{d}{dz}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(\nu+k+1)\,k!}\cdot\frac{z^{2k}}{2^{\nu+2k}} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\,2k}{\Gamma(\nu+k+1)\,k!}\cdot\frac{z^{2k-1}}{2^{\nu+2k}} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{\Gamma(\nu+k+2)\,k!}\cdot\frac{z^{2k+1}}{2^{\nu+2k+1}}=-z^{-\nu}J_{\nu+1}(z).\]Dus geldt
\[\frac{d}{dz}\left[z^{-\nu}J_{\nu}(z)\right]=-z^{-\nu}J_{\nu+1}(z)\quad\Longleftrightarrow\quad zJ_{\nu}'(z)-\nu J_{\nu}(z)=-zJ_{\nu+1}(z).\tag4\]Eliminatie van \(J_{\nu}'(z)\) uit (3) en (4) geeft
\[J_{\nu-1}(z)+J_{\nu+1}(z)=\frac{2\nu}{z}J_{\nu}(z)\]en eliminatie van \(J_{\nu}(z)\) uit (3) en (4) geeft
\[J_{\nu-1}(z)-J_{\nu+1}(z)=2J_{\nu}'(z).\]Speciale gevallen
Voor \(\nu=1/2\) volgt uit de definitie (1) met behulp van de verdubbelingsformule van Legendre voor de gammafunctie
\[J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{x}{2}}\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(k+3/2)\,k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} =\sqrt{\frac{2x}{\pi}}\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\;\sin x,\quad x>0\]en voor \(\nu=-1/2\) geldt
\[J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{x}}\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(k+1/2)\,k!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} =\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,x^{2k}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\;\cos x,\quad x>0.\]Merk op dat uit de definitie (2) volgt dat
\[Y_{1/2}(x)=-J_{-1/2}(x)=-\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\;\cos x\quad\text{en}\quad Y_{-1/2}(x)=J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\;\sin x,\quad x>0.\]
De Besselfuncties \(J_{1/2}(x)\), \(J_{-1/2}(x)\) en \(Y_{1/2}(x)\).
Hankelfuncties
De functies \(H_{\nu}^{(1)}(z)\) en \(H_{\nu}^{(2)}(z)\) worden gedefinieerd door
\[H_{\nu}^{(1)}(z):=J_{\nu}(z)+iY_{\nu}(z)\quad\text{en}\quad H_{\nu}^{(2)}(z):=J_{\nu}(z)-iY_{\nu}(z).\]Deze functies heten Hankelfuncties of Besselfuncties van de derde soort.
Merk op dat uit deze definities volgt dat
\[J_{\nu}(z)=\frac{H_{\nu}^{(1)}(z)+H_{\nu}^{(2)}(z)}{2}\quad\text{en}\quad Y_{\nu}(z)=\frac{H_{\nu}^{(1)}(z)-H_{\nu}^{(2)}(z)}{2i}.\]Verder geldt
\[H_{-1/2}^{(1)}(x)=J_{-1/2}(x)+iY_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,(\cos x+i\sin x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{ix},\quad x>0\]en
\[H_{-1/2}^{(2)}(x)=J_{-1/2}(x)-iY_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,(\cos x-i\sin x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{-ix},\quad x>0.\]Evenzo geldt
\[H_{1/2}^{(1)}(x)=J_{1/2}(x)+iY_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,(\sin x-i\cos x)=-i\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{ix},\quad x>0\]en
\[H_{1/2}^{(2)}(x)=J_{1/2}(x)-iY_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,(\sin x+i\cos x)=i\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{-ix},\quad x>0.\]Gemodificeerde Besselfuncties
De gemodificeerde Besselfunctie \(I_{\nu}(z)\) van de eerste soort van orde \(\nu\) wordt gedefinieerd door
\[I_{\nu}(z):=\frac{(z/2)^{\nu}}{\Gamma(\nu+1)}\,{}_0F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{-}{\nu+1}\,;\,\frac{z^2}{4}\right) =\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(\nu+k+1)\,k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}.\]Voor \(\nu\geq0\) is dit een oplossing van de gemodificeerde Bessel differentiaalvergelijking
\[z^2y''(z)+zy'(z)-\left(z^2+\nu^2\right)y(z)=0,\quad\nu\geq0.\]Voor \(\nu\notin\{0,1,2,\ldots\}\) geldt dat \(I_{-\nu}(z)\) een tweede oplossing is van deze differentiaalvergelijking en dat de twee oplossingen \(I_{\nu}(z)\) en \(I_{-\nu}(z)\) lineair onafhankelijk zijn. Voor \(\nu=n\in\{0,1,2,\ldots\}\) geldt \(I_{-n}(z)=I_n(z)\).
De gemodificeerde Besselfunctie \(K_{\nu}(z)\) van de tweede soort van orde \(\nu\) wordt gegeven door
\[K_{\nu}(z):=\frac{\pi}{2\sin\nu\pi}\left[I_{-\nu}(z)-I_{\nu}(z)\right]\;\;\text{voor}\;\;\nu\notin\{0,1,2,\ldots\} \quad\text{en}\quad K_n(z):=\lim\limits_{\nu\rightarrow n}K_{\nu}(z)\;\;\text{voor}\;\;n\in\{0,1,2,\ldots\}.\]Nu geldt voor \(x>0\)
\[I_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,\sinh x,\quad I_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,\cosh x \quad\text{en}\quad K_{1/2}(x)=K_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,e^{-x}.\]
De gemodificeerde Besselfuncties \(I_{1/2}(x)\), \(I_{-1/2}(x)\) en \(K_{1/2}(x)\).
Last modified on 29 september 2021
