Speciale Functies – Besselfuncties

De Besselfunctie \(J_{\nu}(z)\) van de eerste soort van orde \(\nu\) wordt gedefinieerd door

\[J_{\nu}(z)=\frac{(z/2)^{\nu}}{\Gamma(\nu+1)}\,{}_0F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{-}{\nu+1}\,;\,-\frac{z^2}{4}\right) =\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(\nu+k+1)\,k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}.\tag1\]

Voor \(\nu\geq0\) is dit een oplossing van de Bessel differentiaalvergelijking

\[z^2y''(z)+zy'(z)+\left(z^2-\nu^2\right)y(z)=0,\quad\nu\geq0.\tag2\]

Voor \(\nu\notin\{0,1,2,\ldots\}\) geldt dat \(J_{-\nu}(z)\) een tweede oplossing is van de differentiaalvergelijking (2) en de twee oplossingen \(J_{\nu}(z)\) en \(J_{-\nu}(z)\) zijn duidelijk lineair onafhankelijk. Voor \(\nu=n\in\{0,1,2,\ldots\}\) geldt

\[J_{-n}(z)=\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(-n+k+1)\,k!} \left(\frac{z}{2}\right)^{2k}=\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}\sum_{k=n}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\Gamma(-n+k+1)\,k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k},\]

omdat

\[\frac{1}{\Gamma(-n+k+1)}=0\quad\text{voor}\quad k=0,1,2,\ldots,n-1.\]

Hieruit volgt dat

\begin{align*} J_{-n}(z)&=\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}\sum_{k=n}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(-n+k+1)\,k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}= \left(\frac{z}{2}\right)^{-n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+k}}{\Gamma(k+1)\,(n+k)!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2(n+k)}\\[2.5mm] &=(-1)^n\left(\frac{z}{2}\right)^n\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(n+k+1)\,k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}=(-1)^nJ_n(z). \end{align*}

Hieruit volgt dat \(J_n(z)\) en \(J_{-n}(z)\) lineair onafhankelijk zijn voor \(n\in\{0,1,2,\ldots\}\).

Een tweede lineair onafhankelijke oplosisng kan alsvolgt worden gevonden. Omdat \((-1)^n=\cos n\pi\), zien we dat \(J_{\nu}(z)\cos\nu\pi-J_{-\nu}(z)\) een oplossing is van de differentiaalvergelijking (2) die nul wordt als \(\nu=n\in\{0,1,2,\ldots\}\). Nu definiëren we

\[Y_{\nu}(z):=\frac{J_{\nu}(z)\cos\nu\pi-J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi},\tag3\]

waarbij het geval dat \(\nu=n\in\{0,1,2,\ldots\}\) gezien dient te worden als een limietgeval. Met behulp van de regel van l'Hopital's volgt

\[Y_n(z):=\lim\limits_{\nu\rightarrow n}Y_{\nu}(z)=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\partial J_{\nu}(z)}{\partial\nu}\right]_{\nu=n} -\frac{(-1)^n}{\pi}\left[\frac{\partial J_{-\nu}(z)}{\partial\nu}\right]_{\nu=n}.\]

Hieruit volgt dat \(Y_{-n}(z)=(-1)^nY_n(z)\) voor \(n\in\{0,1,2,\ldots\}\). De functie \(Y_{\nu}(z)\) heet de Besselfunctie van de tweede soort van orde \(\nu\).

Met behulp van de definitie (3) volgt dat

\[\left[\frac{\partial J_{\nu}(z)}{\partial\nu}\right]_{\nu=n}=J_n(z)\ln\left(\frac{z}{2}\right) -\left(\frac{z}{2}\right)^n\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\psi(n+k+1)}{(n+k)!\,k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k},\]

waarbij

\[\psi(z)=\frac{d}{dz}\ln\Gamma(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.\]

Voor \(\nu\notin\{0,1,2,\ldots\}\) geldt

\[\frac{\partial J_{-\nu}(z)}{\partial\nu}=-J_{\nu}(z)\ln\left(\frac{z}{2}\right) +\left(\frac{z}{2}\right)^{-\nu}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\psi(-\nu+k+1)}{\Gamma(-\nu+k+1)\,k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}.\]

Nu gebruiken we

\[\lim\limits_{z\rightarrow -n}(z+n)\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}\quad\Longrightarrow\quad \Gamma(z)\sim\frac{(-1)^n}{(z+n)\,n!}\quad\text{for}\quad z\rightarrow -n\]

en

\[\psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}\sim\frac{-\displaystyle\frac{(-1)^n}{(z+n)^2\,n!}}{\displaystyle\frac{(-1)^n}{(z+n)\,n!}} =-\frac{1}{z+n}\quad\text{voor}\quad z\rightarrow -n.\]

Hieruit volgt dat

\[\lim\limits_{z\rightarrow -n}\frac{\psi(z)}{\Gamma(z)}=(-1)^{n+1}n!\quad\text{voor}\quad n=0,1,2,\ldots.\]

Dus

\begin{align*} \lim\limits_{\nu\rightarrow n}\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\psi(-\nu+k+1)}{\Gamma(-\nu+k+1)\,k!} \left(\frac{z}{2}\right)^{2k}&=(-1)^n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k} +\sum_{k=n}^{\infty}\frac{(-1)^k\psi(-n+k+1)}{\Gamma(-n+k+1)\,k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}\\[2.5mm] &=(-1)^n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}+(-1)^n\left(\frac{z}{2}\right)^{2n} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\psi(k+1)}{\Gamma(k+1)\,(n+k)!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}. \end{align*}

Hieruit volgt dat

\[\left[\frac{\partial J_{-\nu}(z)}{\partial\nu}\right]_{\nu=n}=-J_{-n}(z)\ln\left(\frac{z}{2}\right)+(-1)^n\left(\frac{z}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k} +(-1)^n\left(\frac{z}{2}\right)^n\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\psi(k+1)}{(n+k)!\,k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}.\]

Ten slotte gebruiken we dat \(J_{-n}(z)=(-1)^nJ_n(z)\) om te concluderen dat

\[Y_n(z)=\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\left(\frac{z}{2}\right)-\frac{1}{\pi}\left(\frac{z}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k} -\frac{1}{\pi}\left(\frac{z}{2}\right)^n\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(n+k)!\,k!} \left[\psi(n+k+1)+\psi(k+1)\right]\left(\frac{z}{2}\right)^{2k}\]

voor \(n\in\{0,1,2,\ldots\}\). Vergelijk met de theorie van Frobenius voor lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen.

---

Laatst gewijzigd op 29 september 2021