OnderwijsAnalyse – Eerste orde differentiaalvergelijkingen – Mengproblemen
Voorbeelden
1) Een tank bevat \(100\;\text{g}\) zout opgelost in \(250\;\ell\) water. Deze oplossing wordt optimaal gemengd en stroomt uit de tank met een snelheid van \(5\;\ell/\text{min}\). Tegelijkertijd stroomt er een zoutoplossing met een concentratie van \(10\;\text{g}/\ell\) in de tank met dezelfde snelheid van \(5\;\ell/\text{min}\). Na hoeveel minuten is de hoeveelheid zout in de tank gelijk aan \(1300\;\text{g}\)?
Oplossing:
Laat \(y(t)\) de hoeveelheid zout (in \(\text{g}\)) zijn in de tank op tijdstip \(t\) (in \(\text{min}\)). Dan geldt: \(y(0)=100\) (beginvoorwaarde)
en \(\displaystyle\frac{dy}{dt}=50−\frac{y}{50}\). Deze differentiaalvergelijking is zowel separabel als lineair. Merk op dat \(y(t)=2500\)
een (constante) oplossing is van deze differentiaalvergelijking. Voor \(y(t)\neq2500\) geldt:
Integratie geeft nu
\[\int\frac{dy}{2500-y}=\int\frac{dt}{50}\quad\Longleftrightarrow\quad-\ln|2500-y|=\frac{1}{50}t+C.\]Hieruit volgt dat
\[2500-y(t)=\pm e^{-\frac{1}{50}t-C}=\pm e^{-C}\cdot e^{-\frac{1}{50}t}.\]Merk op dat \(\pm e^{-C}\) een willekeurige positieve of negatieve constante is. Als we deze vervangen door een willekeurige constante \(K\) dan krijgen we de "verloren" constante oplossing \(y(t)=2500\) weer terug: \(y(t)=2500-Ke^{-\frac{1}{50}t}\). Ten slotte volgt uit de beginvoorwaarde \(y(0)=100\) dat \(K=2400\).
De oplossing van het beginwaardeprobleem is dus \(y(t)=2500-2400e^{-\frac{1}{50}t}\).
Nu kunnen we de vraag beantwoorden:
\[y(t)=1300\quad\Longleftrightarrow\quad e^{-\frac{1}{5}t}=\tfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad t=50\ln(2),\]waaruit volgt dat na \(50\ln(2)\approx35\) minuten de hoeveelheid zout in de tank gelijk aan \(1300\;\text{g}\) is. Het is eenvoudig te checken dat
\[y(50\ln(2))=2500-2400e^{-\ln(2)}=2500-1200=1300.\]2) Een tank bevat \(100\;\ell\) bier met \(5\%\) alcohol. Bier met \(7\%\) alcohol wordt in de tank gepompt met een snelheid van \(1\;\ell/\text{min}\). De vloeistof in de tank wordt optimaal gemengd en stroomt uit de tank met een snelheid van \(1\;\ell/\text{min}\). Wat is het alcoholpercentage van het bier in de tank na \(1\) uur (\(60\) minutes)?
Oplossing:
Laat \(y(t)\) de hoeveelheid alcohol (in \(\ell\)) in de tank zijn op tijdstip \(t\) (in \(\text{min}\)). Dan geldt: \(y(0)=5\) beginvoorwaarde) en
\(\displaystyle\frac{dy}{dt}=\frac{7}{100}-\frac{y}{100}\). Deze differentiaalvergelijking is zowel separabel als lineair. Merk op dat \(y(t)=7\)
een (constante) oplossing is van deze differentiaalvergelijking. Voor \(y(t)\neq7\) geldt:
Integratie geeft nu
\[\int\frac{dy}{7-y}=\int\frac{dt}{100}\quad\Longleftrightarrow\quad-\ln|7-y|=\frac{1}{100}t+C.\]Hieruit volgt dat
\[7-y(t)=\pm e^{-\frac{1}{100}t-C}=\pm e^{-C}\cdot e^{-\frac{1}{100}t}.\]Merk op dat \(\pm e^{-C}\) een willekeurige positieve of negatieve constante is. Als we deze vervangen door een willekeurige constante \(K\) dan krijgen we de "verloren" constante oplossing \(y(t)=7\) weer terug: \(y(t)=7-Ke^{-\frac{1}{100}t}\). Ten slotte volgt uit de beginvoorwaarde \(y(0)=5\) dat \(K=2\).
De oplossing van het beginwaardeprobleem is dus \(y(t)=7-2e^{-\frac{1}{100}t}\).
Nu volgt dat \(y(60)=7-2e^{-\frac{3}{5}}\approx5.9\). Omdat het volume van de vloeistof in de tank \(100\;\ell\) is, is dit het alcoholpercentage na \(1\) uur.
3) Een tank bevat \(100\;\ell\) zoutoplossing met \(100\;\text{g}\) zout opgelost in water. Deze oplossing wordt optimaal gemengd en stroomt uit de tank met een snelheid van \(3\;\ell/\text{min}\). Tegelijkertijd stroomt er een zoutoplossing met een concentratie van \(10\;\text{g}/\ell\) in de tank met een snelheid van \(1\;\ell/\text{min}\). Wat is de hoevelheid zout (in \(\text{g}\)) in de tank na \(25\) minuten?
Oplossing:
Laat \(y(t)\) de hoeveelheid zout (in \(\text{g}\)) in de tank zijn op tijdstip \(t\) (in \(\text{min}\)). Dan geldt: \(y(0)=100\) (beginvoorwaarde)
en \(\displaystyle\frac{dy}{dt}=10−3\cdot\frac{y}{100-2t}\). Deze differentiaalvergelijking is lineair (en niet separabel). We zoeken dus een
integrerende factor \(I(t)\):
Dus: \(I(t)=\exp\left(-\frac{3}{2}\ln(100-2t)\right)=(100-2t)^{-\frac{3}{2}}\) bijvoorbeeld. Dan geldt:
\[\frac{d}{dt}\left[(100-2t)^{-\frac{3}{2}}y(t)\right]=10(100-2t)^{-\frac{3}{2}}\quad\Longrightarrow\quad (100-2t)^{-\frac{3}{2}}y(t)=10(100-2t)^{-\frac{1}{2}}+C\]en dus: \(y(t)=10(100-2t)+C(100-2t)^{\frac{3}{2}}\). Uit de beginvoorwaarde \(y(0)=100\) volgt dat: \(100=1000+1000C\) oftewel \(C=-\frac{900}{1000}=-\frac{9}{10}\). Dus: \(y(t)=10(100-2t)-\frac{9}{10}(100-2t)^{\frac{3}{2}}\).
Voor \(t=25\) vinden we nu: \(y(25)=500-\frac{9}{10}\cdot50\sqrt{50}=500-225\sqrt{2}\).
Opmerking: De differentiaalvergelijking is slechts geldig voor \(0 < t < 50\). Na \(50\) minuten is de tank leeg.
4) Een tank met een volume van \(500\;\ell\) bevat \(25\;\text{g}\) zout opgelost in \(100\;\ell\) water. Deze oplossing wordt optimaal gemengd en stroomt uit de tank met een snelheid van \(1\;\ell/\text{min}\). Tegelijkertijd stroomt er een zoutoplossing met een concentratie van \(5\;\text{g}/\ell\) in de tank met een snelheid van \(2\;\ell/\text{min}\). Wat is de hoeveelheid zout (in \(\text{g}\)) in de tank na \(25\) minuten?
Oplossing:
Laat \(y(t)\) de hoeveelheid zout (in \(\text{g}\)) in de tank op tijdstip \(t\) (in \(\text{min}\)). Dan geldt: \(y(0)=25\) (beginvoorwaarde) en
\(\displaystyle\frac{dy}{dt}=10−1\cdot\frac{y}{100+t}\). Deze differentiaalvergelijking is lineair (en niet separabel). We zoeken dus een
integrerende factor \(I(t)\):
Dus: \(I(t)=\exp\left(\ln(100+t)\right)=100+t\) bijvoorbeeld. Dan geldt:
\[\frac{d}{dt}\left[(100+t)y(t)\right]=10(100+t)=1000+10t\quad\Longrightarrow\quad (100+t)y(t)=1000t+5t^2+C.\]Uit de beginvoorwaarde \(y(0)=25\) volgt dat \(C=2500\). Dus: \(y(t)=\displaystyle\frac{5t^2+1000t+2500}{100+t}\).
Voor \(t=25\) vinden we nu: \(y(25)=\displaystyle\frac{5\cdot625+25000+2500}{125}=25+200+20=245\).
Opmerking: De differentiaalvergelijking is slechts geldig voor \(0 < t < 400\). Na \(400\) minuten zal de tank overstromen.
Laatst gewijzigd op 8 maart 2021
