Analyse – Eerste orde differentiaalvergelijkingen – Lineaire differentiaalvergelijkingen

Definitie: Een eerste orde differentiaalvergelijking heet lineair als deze geschreven kan worden in de vorm:

\[\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x),\]

waarbij \(P\) en \(Q\) continue functies zijn op een zeker interval.

We beschouwen twee methoden om een dergelijke differentiaalvergelijking op te lossen: met behulp van een integrerende factor en met de methode van variatie van de constante.

Met behulp van een integrerende factor:

Als we de differentiaalvergelijking (in standaardvorm) vermenigvuldigen met een factor \(I(x)\neq0\), dan blijven de oplossingen behouden. We proberen nu zo'n factor \(I(x)\) te vinden zodat uit

\[I(x)y'(x)+I(x)P(x)y(x)=I(x)Q(x)\]

volgt dat

\[\frac{d}{dx}\left(I(x)y(x)\right)=I(x)Q(x).\]

Dan moet gelden dat: \(I'(x)=I(x)P(x)\). Zo'n factor \(I(x)\) heet een integrerende factor omdat we dan kunnen integreren:

\[I(x)y(x)=\int I(x)Q(x)\,dx.\]

En omdat \(I(x)\neq0\) leidt dit tot de oplossing: \(y(x)=\displaystyle\frac{1}{I(x)}\int I(x)Q(x)\,dx\).

Om nu zo'n integrerende factor \(I(x)\neq0\) te vinden moeten we de differentiaalvergelijking

\[I'(x)=I(x)P(x)\]

oplossen. Maar dit is een separabele differentiaalvergelijking. Merk op dat \(I(x)=\exp\left(\displaystyle\int P(x)\,dx\right)\) een oplossing is, waarbij \(\displaystyle\int P(x)\,dx\) staat voor een willekeurige primitieve van \(P(x)\).

Dit leidt to het volgende "recept":

1. Schrijf de differentiaalvergelijking in de standaardvorm \(\displaystyle\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\).


2. Bepaal een (willekeurige) integrerende factor \(I(x)\neq0\) zodat \(I'(x)=I(x)P(x)\).


3. Vermenigvuldig de differentiaalvergelijking in standaardvorm met \(I(x)\):\[\underbrace{I(x)y'(x)+I(x)P(x)y(x)}_{\displaystyle\left(I(x)y(x)\right)'}=I(x)Q(x).\]


4. Integreer beide zijden van deze vergelijking: \(I(x)y(x)=\displaystyle\int I(x)Q(x)\,dx\).


5. Deel door \(I(x)\neq0\): \(y(x)=\displaystyle\frac{1}{I(x)}\int I(x)Q(x)\,dx\).

Voorbeelden:

1) \(y'+2y=3\) heeft \(I(x)=e^{2x}\neq0\) als een integrerende factor (want: \(I'(x)=2I(x)\)). Dus: \((e^{2x}y(x))'=3e^{2x}\). Daaruit volgt dat \(e^{2x}y(x)=\displaystyle\int 3e^{2x}\,dx=\tfrac{3}{2}e^{2x}+C\) met \(C\) een willekeurige (integratie)constante. Dus: \(y(x)=\frac{3}{2}+Ce^{-2x}\) met \(C\in\mathbb{R}\).

2) \(y'-2xy=4x\) heeft \(I(x)=e^{-x^2}\neq0\) als een integrerende factor (want: \(I'(x)=-2xI(x)\)). Dus: \((e^{-x^2}y(x))'=4xe^{-x^2}\). Daaruit volgt dat \(e^{-x^2}y(x)=\displaystyle\int 4xe^{-x^2}\,dx=-2e^{-x^2}+C\) met \(C\) een willekeurige (integratie)constante. Dus: \(y(x)=-2+Ce^{x^2}\) met \(C\in\mathbb{R}\).

3) De differentiaalvergelijking \(xy'+y=1\) met \(x>0\) staat niet in de standaardvorm. Schrijf deze dus eerst als \(y'+\displaystyle\frac{1}{x}y=\frac{1}{x}\) en merk vervolgens op dat \(I(x)=e^{\ln(x)}=x>0\) een integrerende factor is (want: \(I'(x)=\displaystyle\frac{1}{x}I(x)\)). Dan volgt dat: \((xy(x))'=1\) en dus \(xy(x)=x+C\) met \(C\) een willekeurige (integratie)constante. Dus: \(y(x)=\displaystyle\frac{x+C}{x}=1+\frac{C}{x}\) met \(C\in\mathbb{R}\).

Het kan ook met variatie van de constante:

Beschouw daarbij eerst de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking (ook in standaardvorm met \(Q(x)\) vervangen door \(0\)):

\[\frac{dy}{dx}+P(x)y=0.\]

Deze differentiaalvergelijking is separabel, want voor \(y\neq0\) kan deze worden geschreven in de vorm

\[\frac{dy}{y}=-P(x)\,dx\quad\Longrightarrow\quad\ln|y(x)|=-\int P(x)\,dx.\]

Hieruit volgt een algemene oplossing van de vorm \(y(x)=C\exp\left(-\displaystyle\int P(x)\,dx\right)\) met \(C\) een willekeurige (integratie)constante.

Vervangen we nu deze constante door een functie van \(x\), zeg \(u(x)\), dan volgt na invullen in de inhomogene differentiaalvergelijking:

\begin{align*} &u'(x)\exp\left(-\int P(x)\,dx\right)-P(x)u(x)\exp\left(-\int P(x)\,dx\right)+P(x)u(x)\exp\left(-\int P(x)\,dx\right)=Q(x)\\[2.5mm] &{}\hspace{25mm}\Longleftrightarrow\quad u'(x)=Q(x)\exp\left(\int P(x)\,dx\right). \end{align*}

Integreren levert dan \(u(x)\) inclusief een willekeurige (integratie)constante. Invullen in \(y(x)=u(x)\left(-\displaystyle\int P(x)\,dx\right)\) levert dan de algemene oplossing.

Voorbeelden:

1) Voor \(y'+2y=3\) beschouwen we eerst \(y'+2y=0\) met algemene oplossing \(y(x)=Ce^{-2x}\). Substitueer nu \(y(x)=u(x)e^{-2x}\):

\[u'(x)e^{-2x}-2u(x)e^{-2x}+2u(x)e^{-2x}=3\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=3e^{2x}\quad\Longrightarrow\quad u(x)=\tfrac{3}{2}e^{2x}+C.\] De algemene oplossing is dus: \(y(x)=u(x)e^{-2x}=\frac{3}{2}+Ce^{-2x}\) met \(C\in\mathbb{R}\).

2) Voor \(y'-2xy=4x\) beschouwen we eerst \(y'-2xy=0\) met algemene oplossing \(y(x)=Ce^{x^2}\). Substitueer nu \(y(x)=u(x)e^{x^2}\): \[u'(x)e^{x^2}+2xu(x)e^{x^2}-2xu(x)e^{x^2}=4x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=4xe^{-x^2}\quad\Longrightarrow\quad u(x)=-2e^{-x^2}.\] De algemene oplossing is dus: \(y(x)=u(x)e^{x^2}=-2+Ce^{x^2}\) met \(C\in\mathbb{R}\).

3) Schrijf de differentiaalvergelijking \(xy'+y=1\) met \(x>0\) eerst in de standaardvorm: \(y'+\displaystyle\frac{1}{x}y=\frac{1}{x}\). Beschouw vervolgens \(y'+\displaystyle\frac{1}{x}y=0\) met algemene oplossing \(y(x)=\displaystyle\frac{C}{x}\). Substitueer nu \(y(x)=\displaystyle\frac{u(x)}{x}\):

\[\frac{u'(x)}{x}-\frac{u(x)}{x^2}+\frac{u(x)}{x^2}=\frac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=1\quad\Longrightarrow\quad u(x)=x+C.\] De algemene oplossing is dus: \(y(x)=\displaystyle\frac{u(x)}{x}=\frac{x+C}{x}=1+\frac{C}{x}\) met \(C\in\mathbb{R}\).

---

Laatst gewijzigd op 8 maart 2021