Speciale Functies – De gamma- en de betafunctie – De gammafunctie

De gammafunctie \(\Gamma(z)\) wordt gedefinieerd door:

Definitie: \(\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\,dt,\quad\text{Re}(z)>0.\)

Uit de definitie volgt dat \(\Gamma(z)\) analytisch is voor \(\text{Re}(z)>0\). Met behulp van partiële integratie volgt dat

\begin{align*} \Gamma(z+1)=\int_0^{\infty}e^{-t}t^z\,dt=-\int_0^{\infty}t^z\,de^{-t}=-e^{-t}t^z\Big|_0^{\infty}+\int_0^{\infty}e^{-t}\,dt^z =z\int_0^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\,dt=z\Gamma(z),\quad\text{Re}(z)>0. \end{align*}

Dus geldt

Stelling: \(\Gamma(z+1)=z\Gamma(z),\quad\text{Re}(z)>0\).

Verder geldt: \(\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}\,dt=-e^{-t}\Big|_0^{\infty}=1\). Hieruit volgt dat \(\Gamma(n+1)=n!\) for \(n=0,1,2,\ldots\).

Analytische voortzetting

Voor \(-1<\text{Re}(z)\leq0\) definiëren we: \(\Gamma(z)=\displaystyle\frac{\Gamma(z+1)}{z}\) voor \(z\neq0\). Dan is de gammafunctie \(\Gamma(z)\) analytisch voor \(\text{Re}(z)>-1\) met uitzondering van \(z=0\). Voor \(z=0\) volgt

\[\lim\limits_{z\to0}z\Gamma(z)=\lim\limits_{z\to0}\Gamma(z+1)=\Gamma(1)=1.\]

Hieruit volgt dat \(\Gamma(z)\) en enkelvoudige pool heeft in \(z=0\) met residu \(1\). Dit proces kan worden herhaald voor \(-2<\text{Re}(z)\le -1\), \(-3<\text{Re}(z)\le -2\), etcetera. Dan volgt dat de gammafunctie een analytische functie is op \(\mathbb{C}\) met uitzondering van enkelvoudige polen in \(z=0,-1,-2,\ldots\). Het residu in \(z=-n\) is gelijk aan

\begin{align*} \lim\limits_{z\to -n}(z+n)\Gamma(z)&=\lim\limits_{z\to -n}(z+n)\frac{\Gamma(z+1)}{z} =\lim\limits_{z\to -n}(z+n)\frac{1}{z}\frac{1}{z+1}\cdots\frac{1}{z+n-1}\frac{\Gamma(z+n+1)}{z+n}\\[2.5mm] &=\frac{\Gamma(1)}{(-n)(-n+1)\cdots(-1)}=\frac{(-1)^n}{n!},\quad n=0,1,2,\ldots. \end{align*}

Definitie: De verschoven faculteit wordt gedefinieerd door \((a)_0=1\) en \((a)_k=a(a+1)(a+2)\cdots(a+k-1)\) voor \(k=1,2,3,\ldots\).

Lemma: \(\displaystyle\int_0^1(1-t)^nt^{z-1}\,dt=\frac{n!}{(z)_{n+1}}\) voor \(\text{Re}(z)>0\) en \(n=0,1,2,\ldots\).

Bewijs: Voor \(n=0\) geldt voor \(\text{Re}(z)>0\) dat \(\displaystyle\int_0^1t^{z-1}\,dt=\frac{t^z}{z}\bigg|_0^1=\frac{1}{z}=\frac{0!}{z^1}\). Neem nu aan dat de formule geldt voor een zekere waarde van \(n\), dan volgt

\begin{align*} \int_0^1(1-t)^{n+1}t^{z-1}\,dt&=\int_0^1(1-t)(1-t)^nt^{z-1}\,dt=\int_0^1(1-t)^nt^{z-1}\,dt-\int_0^1(1-t)^nt^z\,dt\\[2.5mm] &=\frac{n!}{(z)_{n+1}}-\frac{n!}{(z+1)_{n+1}}=\frac{n!}{(z)_{n+2}}\left(z+n+1-z\right)=\frac{(n+1)!}{(z)_{n+2}}. \end{align*}

Dit bewijst, met volledige inductie, dat het lemma geldt voor alle \(n=0,1,2,\ldots\).

Stel nu \(t=u/n\), dan volgt dat

\[\frac{1}{n^z}\int_0^n\left(1-\frac{u}{n}\right)^nu^{z-1}\,du=\frac{n!}{(z)_{n+1}}\quad\Longrightarrow\quad \int_0^n\left(1-\frac{u}{n}\right)^nu^{z-1}\,du=\frac{n!\,n^z}{(z)_{n+1}}.\]

Omdat geldt \(\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{u}{n}\right)^n=e^{-u}\), concluderen we dat \(\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-u}u^{z-1}\,du=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n!\,n^z}{(z)_{n+1}}\).

Stelling: \(\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx=\Gamma(s)\zeta(s),\quad\text{Re}(s)>1\). Hierbij is \(\zeta(s):=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^s\) de Riemann zetafunctie.

Bewijs: We gebruiken dat \(\displaystyle\frac{1}{1-e^{-x}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{-x}\right)^n\) voor \(x>0\) en de substitutie \((n+1)x=t\) en vinden dat

\begin{align*} \int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx&=\int_0^{\infty}x^{s-1}e^{-x}\cdot\frac{1}{1-e^{-x}}\,dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^{\infty}x^{s-1}e^{-(n+1)x}\,dx\\[2.5mm] &=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}}{(n+1)^{s-1}}e^{-t}\cdot\frac{1}{n+1}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^s}\int_0^{\infty}t^{s-1}e^{-t}\,dt\\[2.5mm] &=\Gamma(s)\zeta(s),\quad\text{Re}(s)>1. \end{align*}

Hieruit volgt bijvoorbeeld dat \(\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x-1}\,dx=\Gamma(2)\zeta(2)=\tfrac{1}{6}\pi^2\) en \(\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x^2}{e^x-1}\,dx=\Gamma(3)\zeta(3)=2\zeta(3)\).

---

Last modified on 20 april 2024