Speciale Functies – De gamma- en de betafunctie

De gammafunctie \(\Gamma(z)\) en de betafunctie \(B(u,v)\) spelen een belangrijke rol in de theorie van Speciale Functies. De gammafunctie is essentieel voor de definitie van andere speciale functies zoals hypergeometrische functies en Besselfuncties.

Soms maken we gebruik van de residustelling van Cauchy.

De residustelling van Cauchy is een gevolg van de integraalformule van Cauchy

\[f(z_0)=\frac{1}{2\pi\,i}\oint_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz,\]

waarbij \(f\) een analytische functie is en \(\mathcal{C}\) een enkelvoudig gesloten contour in het complexe vlak rond het punt \(z_0\) met positieve orientatie wat betekent dat deze tegen de wijzers van de klok in wordt doorlopen.

Omdat de integrand analytisch is met uitzondering van \(z=z_0\), is de integraal gelijk aan dezelfde integraal met \(\mathcal{C}\) vervangen door een kleine cirkel binnen de contour \(\mathcal{C}\) met middelpunt \(z_0\). Hieruit volgt dat met \(z=z_0+r\,e^{i\theta}\) en \(0\leq\theta\leq2\pi\) volgt dat

\[\oint_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=\lim\limits_{r\downarrow 0}\int_0^{2\pi}\frac{f(z_0+r\,e^{i\theta})}{r\,e^{i\theta}}\,i\,r\,e^{i\theta}\,d\theta =i\,f(z_0)\int_0^{2\pi}\,d\theta=2\pi\,i\,f(z_0),\]

waarmee de integraalformule van Cauchy is bewezen.

Iteratie van deze formule leidt tot

\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\,i}\oint_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz,\quad n=0,1,2,\ldots.\]

Als \(f\) een analytische functie is met uitzondering van een geïsoleerde singulariteit in \(z=z_0\), dan heeft \(f\) een Laurentreeksontwikkeling van de vorm

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n.\]

De coëfficiënt \(a_{-1}\) heet dan het residu van \(f\) in \(z=z_0\). We gebruiken de notatie \(\text{Res}_f(z_0)=a_{-1}\). De residustelling van Cauchy is dan:

Stelling: Als \(\mathcal{C}\) een enkelvoudig gesloten, positief geörienteerde contour in het complexe vlak is en \(f\) is analytisch met uitzondering van enkele punten \(z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n\) binnen de contour \(\mathcal{C}\), dan geldt

\[\oint_{\mathcal{C}}f(z)\,dz=2\pi\,i\sum_{k=1}^n\mathrm{Res}_f(z_k).\]

Als \(f\) een ophefbare singulariteit in \(z=z_0\) heeft, dan is het residu gelijk aan nul. Als \(f\) een enkelvoudige pool heeft in \(z=z_0\), dan geldt

\[\text{Res}_f(z_0)=\lim\limits_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)\]

en als \(f\) een pool heeft van de orde \(k\) in \(z=z_0\), dan geldt

\[\text{Res}_f(z_0)=\frac{1}{(k-1)!}\lim\limits_{z\to z_0}\frac{d^k}{dz^k}\left\{(z-z_0)^kf(z)\right\},\quad k\in\{1,2,3,\ldots\}.\]

De residustelling van Cauchy kan worden gebruikt om reële integralen te berekenen door een geschikte contour in het complexe vlak toe te passen.

---

Laatst gewijzigd op 15 mei 2021