Speciale Functies – De gamma- en de betafunctie – De digammafunctie

De digammafunctie \(\psi(z)\) wordt gedefinieerd door:

Definitie: \(\psi(z)=\displaystyle\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\frac{d}{dz}\ln\Gamma(z),\quad z\ne 0,-1,-2,\ldots\).

Stelling: \(\displaystyle\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}\).

Bewijs: Met behulp van de relatie \(\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\) volgt:

\[\psi(z+1)=\frac{d}{dz}\ln\Gamma(z+1)=\frac{d}{dz}\ln\left(z\Gamma(z)\right)=\frac{d}{dz}\ln z+\frac{d}{dz}\ln\Gamma(z)=\frac{1}{z}+\psi(z).\]

Dit bewijst de stelling. Door iteratie volgt dan eenvoudig:

Stelling: \(\displaystyle\psi(z+n)=\psi(z)+\frac{1}{z}+\frac{1}{z+1}+\ldots+\frac{1}{z+n-1}\quad n=1,2,3,\ldots\).

Stelling: \(\displaystyle\psi(z)-\psi(1-z)=-\frac{\pi}{\tan\pi z}\quad z\ne 0,\pm 1,\pm 2,\ldots\).

Bewijs: Met behulp van de reflectieformule van Euler volgt

\[\psi(z)-\psi(1-z)=\frac{d}{dz}\ln\Gamma(z)+\frac{d}{dz}\ln\Gamma(1-z)=\frac{d}{dz}\ln\left(\Gamma(z)\Gamma(1-z)\right) =\frac{d}{dz}\ln\frac{\pi}{\sin\pi z}=\frac{\sin\pi z}{\pi}\cdot\frac{-\pi^2\cos\pi z}{\left(\sin\pi z\right)^2}=-\frac{\pi}{\tan\pi z}.\]

Stelling: \(\psi(2z)=\dfrac{1}{2}\left\{\psi(z)+\psi(z+\frac{1}{2})\right\}+\ln(2)\).

Bewijs: Met behulp van de verdubbelingsformule van Legendre volgt

\begin{align*} \psi(2z)&=\frac{1}{2}\frac{d}{dz}\ln\Gamma(2z)=\frac{1}{2}\frac{d}{dz}\ln\left(\frac{\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})}{2^{1-2z}\sqrt{\pi}}\right)\\[2.5mm] &=\frac{1}{2}\frac{d}{dz}\left(\ln\Gamma(z)+\ln\Gamma(z+\tfrac{1}{2})-(1-2z)\ln(2)-\ln(\sqrt{\pi})\right) =\frac{1}{2}\{\psi(z)+\psi(z+\tfrac{1}{2})\}+\ln(2). \end{align*}

Stelling: \(\psi(nz)=\displaystyle\frac{1}{n}\left\{\psi(z)+\sum_{k=1}^{n-1}\psi(z+\tfrac{k}{n})\right\}+\ln(n),\quad n=1,2,3,\ldots\).

Bewijs: Met behulp van de productformule van Gauss volgt

\begin{align*} \psi(nz)&=\frac{1}{n}\frac{d}{dz}\ln\Gamma(nz)=\frac{1}{n}\frac{d}{dz}\ln\left(\frac{\Gamma(z)\Gamma(z+\tfrac{1}{n})\Gamma(z+\tfrac{2}{n})\cdots\Gamma(z+\tfrac{n-1}{n})}{n^{\frac{1}{2}-nz}(2\pi)^{(n-1)/2}}\right)\\[2.5mm] &=\frac{1}{n}\frac{d}{dz}\left(\ln\Gamma(z)+\sum_{k=1}^{n-1}\ln\Gamma(z+\tfrac{k}{n})-(\tfrac{1}{2}-nz)\ln(n)-\frac{n-1}{2}\ln(2\pi)\right) =\frac{1}{n}\left\{\psi(z)+\sum_{k=1}^{n-1}\psi(z+\tfrac{k}{n})\right\}+\ln(n). \end{align*}

Merk op dat \(\psi(1)=\Gamma'(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}\ln t\,dt\). Om te bewijzen dat deze integral convergeert, schrijven we

\[\int_0^{\infty}e^{-t}\ln t\,dt=\int_0^1e^{-t}\ln t\,dt+\int_1^{\infty}e^{-t}\ln t\,dt\]

met

\[0 < \int_1^{\infty}e^{-t}\ln t\,dt=\int_1^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,dt < \int_1^{\infty}e^{-t}\,dt=e^{-1}\]

en, omdat \(e^{-1} < e^{-t} < e^0=1\) voor \(0 < t < 1\),

\[-1=\int_0^1\ln t\,dt < \int_0^1e^{-t}\ln t\,dt < e^{-1}\int_0^1\ln t\,dt=-e^{-1}.\]

Hieruit volgt dat

\[-1 < \int_0^{\infty}e^{-t}\ln t\,dt < 0.\]

In feite, de waarde van de integraal is gelijk aan \(-\gamma\), waarbij \(\gamma\) de constante van Euler of de constante van Euler-Mascheroni is:

\[\gamma=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right)\approx 0,5772156649015328606065121\ldots.\]

Met \(\psi(1)=-\gamma\) volgt uit de verdubbelingsformule dat

\[2\psi(1)=\psi(\tfrac{1}{2})+\psi(1)+2\ln(2)\quad\Longrightarrow\quad\psi(\tfrac{1}{2})=\psi(1)-2\ln(2)=-\gamma-2\ln(2).\]

---

Last modified on 15 mei 2021