OnderwijsAnalyse – Inverse functies – Lambert \(W\)-functie
De Lambert \(W\)-functie is "de inverse" van de functie \(y=xe^x\). Merk op dat deze functie bestaat voor alle \(x\in\mathbb{R}\), maar dat deze niet injectief is op \(\mathbb{R}\). De functie neemt voor \(x=-1\) een minimum aan: \(-e^{-1}\). De functie is injectief met domein \([-1,\infty)\) en bereik \([-e^{-1},\infty)\), maar ook met domein \((-\infty,-1]\) en bereik \([-e^{-1},0)\).
Definitie: De Lambert \(W\)-functie is de inverse van de functie \(y=xe^x\) met domein \([-1,\infty)\).
Dus: \(y=W(x)\) met \(x=ye^y\) oftewel \(W(x)e^{W(x)}=x\). Deze functie wordt ook wel aangeduid met \(W_0(x)\).
De andere "tak", de inverse van \(y=xe^x\) met domein \((-\infty,-1]\), wordt dan wel aangeduid met \(W_{-1}(x)\).
Enkele eigenschappen: \(W_{-1}(-e^{-1})=W(-e^{-1})=-1\), \(W(0)=0\) en \(W(e)=1\).
Verder geldt: \(W(xe^x)=x\) voor \(x\geq-1\) en \(W_{-1}(xe^x)=x\) voor \(x\leq-1\).
Hieruit volgt dat \(W(x\ln(x))=\ln(x)\) voor \(x\geq e^{-1}\) en \(W_{-1}(x\ln(x))=\ln(x)\) voor \(x\leq e^{-1}\).
Laatst gewijzigd op 10 maart 2024
