OnderwijsAnalyse – Inverse functies – Inverse trigonometrische functies
Definitie: \(\arcsin(x)=y\quad\Longleftrightarrow\quad\sin(y)=x\quad\text{met}\quad-\frac{1}{2}\pi\leq y\leq\frac{1}{2}\pi\).
Definitie: \(\arccos(x)=y\quad\Longleftrightarrow\quad\cos(y)=x\quad\text{met}\quad0\leq y\leq\pi\).
Definitie: \(\arctan(x)=y\quad\Longleftrightarrow\quad\tan(y)=x\quad\text{met}\quad-\frac{1}{2}\pi < y < \frac{1}{2}\pi\).
Stelling: \(\sin(\arcsin(x))=x\) voor alle \(x\in[-1,1]\) en \(\arcsin(\sin(y))=y\) voor alle \(y\in[-\frac{1}{2}\pi,\frac{1}{2}\pi]\).
Stelling: \(\cos(\arccos(x))=x\) voor alle \(x\in[-1,1]\) en \(\arccos(\cos(y))=y\) voor alle \(y\in[0,\pi]\).
Stelling: \(\tan(\arctan(x))=x\) voor alle \(x\in\mathbb{R}\) en \(\arctan(\tan(y))=y\) voor alle \(y\in(-\frac{1}{2}\pi,\frac{1}{2}\pi)\).
Merk op dat de eerste formule in elke stelling hierboven geldt voor alle \(x\) in het domein. De tweede formule geldt alleen voor \(y\) in een zeker interval.
Voorbeelden:
\[\arcsin(\sin(\tfrac{13}{8}\pi))=\arcsin(\sin(-\tfrac{3}{8}\pi))=-\tfrac{3}{8}\pi,\quad\arccos(\cos(\tfrac{15}{7}\pi))=\arccos(\cos(\tfrac{1}{7}\pi))=\tfrac{1}{7}\pi,\] \[\arctan(\tan(\tfrac{12}{5}\pi))=\arctan(\tan(\tfrac{2}{5}\pi))=\tfrac{2}{5}\pi\quad\text{and}\quad\arctan(\tan(\tfrac{13}{9}\pi))=\arctan(\tan(\tfrac{4}{9}\pi))=\tfrac{4}{9}\pi.\]Hier gebruikten we het feit dat \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\), \(\cos(x+2\pi)=\cos(x)\) en \(\tan(x+\pi)=\tan(x)\) om het juiste interval te bereiken. Echter, soms hebben we ook \(\sin(\pi-x)=\sin(x)\) en \(\cos(2\pi-x)=\cos(x)\) nodig om het juiste interval te bereiken. Bijvoorbeeld:
\[\arcsin(\sin(\tfrac{5}{8}\pi))=\arcsin(\sin(\tfrac{3}{8}\pi))=\tfrac{3}{8}\pi\quad\text{en}\quad\arccos(\cos(\tfrac{8}{7}\pi))=\arccos(\cos(\tfrac{6}{7}\pi))=\tfrac{6}{7}\pi.\]Gebruikmakend van \(\sin(\frac{1}{2}\pi-x)=\cos(x)\) en \(\cos(\frac{1}{2}\pi-x)=\sin(x)\) hebben we ook resultaten zoals
\[\arcsin(\cos(\tfrac{3}{8}\pi))=\arcsin(\sin(\tfrac{1}{8}\pi))=\tfrac{1}{8}\pi\quad\text{en}\quad\arccos(\sin(\tfrac{2}{7}\pi))=\arccos(\cos(\tfrac{3}{14}\pi))=\tfrac{3}{14}\pi.\]Voorbeelden van het omgekeerde zijn:
\[\cos(\arcsin(\tfrac{3}{5}))=\tfrac{4}{5}\quad\text{en}\quad\sin(\arccos(\tfrac{5}{13}))=\tfrac{12}{13}.\]Om dit in te zien, gebruiken we meestal een rechthoekige driehoek; in het eerste voorbeeld met rechthoekszijden van lengte \(3\) en \(4\) en
schuine zijde van lengte \(5\) en in het tweede voorbeeld met rechthoekszijden van lengte \(5\) en \(12\) en schuine zijde van lengte \(13\). Merk op dat \(3^2+4^2=5^2\)
en \(5^2+(12)^2=(13)^2\).
Evenzo geldt:
Bovendien geldt:
\[\sin(\arctan(\tfrac{3}{4}))=\tfrac{3}{5},\quad\cos(\arctan(\tfrac{3}{4}))=\tfrac{4}{5},\quad\sin(\arctan(\tfrac{5}{12})=\tfrac{5}{13}\quad\text{en}\quad\cos(\arctan(\tfrac{5}{12}))=\tfrac{12}{13}.\]Meer algemeen:
Stewart §1.6, Voorbeeld 13: Vereenvoudig de uitdrukking \(\cos(\arctan(x))\).
In dit plaatje geldt
dat \(\arctan(x)=y\) of \(\tan(y)=x\) met \(0 < y < \frac{1}{2}\pi\).
Dus, in dat geval concluderen we dat \(\cos(\arctan(x))=\cos(y)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\).
Maar hoe kunnen we de formule algemeen bewijzen? Voor \(-\frac{1}{2}\pi < y < 0\) kunnen we gebruiken dat uit \(y=\arctan(x)\) volgt dat \(-y=\arctan(-x)\) met \(0 < -y < \frac{1}{2}\pi\). Dan kunnen we hetzelfde plaatje gebruiken met \(-x\) in plaats van \(x\) en \(-y\) in plaats van \(y\). Omdat \((-x)^2\) hetzelfde is als \(x^2\) geeft dit hetzelfde resultaat. Ten slotte is de formule triviaal geldig als \(y=0\) want dan is ook \(x=0\).
We kunnen het resultaat echter ook rechtstreeks bewijzen met behulp van de definitie. Begin met
\[\arctan(x)=y\quad\Longleftrightarrow\quad\tan(y)=x\quad\text{met}\quad -\tfrac{1}{2}\pi < y < \tfrac{1}{2}\pi.\]Nu zoeken we een formule voor \(\cos(y)\). Is het mogelijk zo'n formule te schrijven in termen van \(\tan(y)=x\)? Merk op dat
\[\tan^2(y)=\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}=\frac{1-\cos^2(y)}{\cos^2(y)}\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{\cos^2(y)}=1+\tan^2(y) \quad\text{oftewel}\quad\cos^2(y)=\frac{1}{1+\tan^2(y)}=\frac{1}{1+x^2}.\]Hieruit volgt dat \(\cos(y)=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\). Merk op dat voor \(-\frac{1}{2}\pi < y < \frac{1}{2}\pi\) geldt dat \(\cos(y)>0\). We concluderen dus dat \(\cos(y)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\).
Het vinden van hoeken:
Het inwendig product van twee vectoren heeft de eigenschap dat
\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta),\quad 0\leq\theta\leq\pi.\]Hierbij is \(\theta\) de hoek tussen de vectoren \(\mathbf{a}\) en \(\mathbf{b}\). Daar zagen we dat er maar één waarde voor \(\theta\in[0,\pi]\) is zodat
\[\cos(\theta)=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|},\]mits \(\mathbf{a}\) en \(\mathbf{b}\) niet gelijk zijn aan de nulvector. Nu geldt dat
\[\theta=\arccos\left(\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\right).\]Merk op dat het interval \([0,\pi]\) precies het bereik van de functie arccos is.
Laatst gewijzigd op 1 maart 2021
