Analyse – Complexe getallen – Toepassingen

De belangrijkste toepassing van complexe getallen is bij het vinden van oplossingen van homogene lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten van de orde twee en hoger. Zo'n differentiaalvergelijking is van de vorm

\[c_ny^{(n)}(x)+c_{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots+c_1y'(x)+c_0y(x)=0,\quad n\geq2.\]

Als we \(y(x)=e^{rx}\) proberen als oplossing, dan volgt dat \(y'(x)=re^{rx},\;y''(x)=r^2e^{rx},\;\ldots,\;y^{(n)}(x)=r^ne^{rx}\). Invullen geeft dan:

\[c_nr^ne^{rx}+c_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots+c_1re^{rx}+c_0e^{rx}=0\quad\Longleftrightarrow\quad e^{rx}\left(c_nr^n+c_{n-1}r^{n-1}+\cdots+c_1r+c_0\right)=0.\]

Omdat \(e^{rx}\neq0\) volgt hieruit de karakteristieke vergelijking

\[c_nr^n+c_{n-1}r^{n-1}+\cdots+c_1r+c_0=0.\]

Uit de hoofdstelling van de algebra volgt dan dat deze vergelijking \(n\) oplossingen heeft voor \(r\) in \(\mathbb{C}\). In het geval van reële differentiaalvergelijkingen (alle coëfficiënten zijn reëel) komen dan niet-reële oplossingen alleen in complex geconjugeerde paren voor. In het geval van dergelijke niet-reële oplossingen leiden lineaire combinaties van de complexe oplossingen tot reële oplossingen. Als \(r=\alpha\pm i\beta\) met \(\beta\neq 0\), dan volgt:

\[e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}\cdot e^{i\beta x}=e^{\alpha x}\left(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)\right)\quad\text{en}\quad e^{(\alpha-i\beta)x}=e^{\alpha x}\cdot e^{-\beta x}=e^{\alpha x}\left(\cos(\beta x)-i\sin(\beta x)\right)\]

zijn complexe oplossingen. Lineaire combinaties leiden dan tot de lineair onafhankelijke reële oplossingen

\[e^{\alpha x}\cos(\beta x)\quad\text{en}\quad e^{\alpha x}\sin(\beta x).\]

Meer informatie en details zijn te vinden op de pagina's over homogene lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten van de orde twee en hoger.

Integralen van de vorm \(\displaystyle\int e^{\alpha x}\cos(\beta x)\,dx\) en \(\displaystyle\int e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,dx\) kunnen worden berekend door middel van partiële integratie, maar met de observatie dat \(e^{\alpha x}\cos(\beta x)=\text{Re}\left(e^{(\alpha+i\beta)x}\right)\) en \(e^{\alpha x}\sin(\beta x)=\text{Im}\left(e^{(\alpha+i\beta)x}\right)\) volgt eenvoudig met

\[\int e^{(\alpha+i\beta)x}\,dx=\frac{1}{\alpha+i\beta}e^{(\alpha+i\beta)x}=\frac{\alpha-i\beta}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha x}\left(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)\right)\]

dat

\[\int e^{\alpha x}\cos(\beta x)\,dx=\frac{\alpha}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha x}\cos(\beta x)+\frac{\beta}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha x}\sin(\beta x)\]

en

\[\int e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,dx=\frac{\alpha}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha x}\sin(\beta x)-\frac{\beta}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha x}\cos(\beta x).\]

Een andere toepassing is eigenlijk een bijproduct van de theorie over complexe getallen. Hoewel de stelling van De Moive juist wordt aangetoond met behulp van trigonometrische gelijkheden, kan dit omgekeerd juist weer worden gebruikt om deze te herleiden. Men hoeft die gelijkheden dus niet (meer) uit het hoofd te leren, omdat ze eenvoudig zijn af te leiden met behulp van de stelling van De Moivre. Enkele voorbeelden:

De "dubbele hoek" formules

\[\left\{\begin{array}{l}\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)\\[2.5mm]\cos(2\theta)=\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\end{array}\right.\]

kunnen alsvolgt worden afgeleid:

\begin{align*} \cos(2\theta)+i\sin(2\theta)&=e^{2\theta i}=\left(e^{\theta i}\right)^2=\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)^2\\[2.5mm] &=\cos^2(\theta)+2i\sin(\theta)\cos(\theta)+i^2\sin^2(\theta)\\[2.5mm] &=\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)+2i\sin(\theta)\cos(\theta). \end{align*}

Vergelijken van het reële en imaginaire deel geeft dan het gewenste resultaat. Meer algemeen geldt:

\begin{align*} \cos(\theta+\phi)+i\sin(\theta+\phi)&=e^{(\theta+\phi)i}=e^{\theta i}\cdot e^{\phi i}=\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)\left(\cos(\phi)+i\sin(\phi)\right)\\[2.5mm] &=\cos(\theta)\cos(\phi)+i\sin(\theta)\cos(\phi)+i\cos(\theta)\sin(\phi)+i^2\sin(\theta)\sin(\phi)\\[2.5mm] &=\cos(\theta)\cos(\phi)-\sin(\theta)\sin(\phi)+i\left(\sin(\theta)\cos(\phi)+\cos(\theta)\sin(\phi)\right). \end{align*}

Vergelijken van het reële en het imaginaire deel leidt tot de additieformules:

\[\left\{\begin{array}{l}\sin(\theta+\phi)=\sin(\theta)\cos(\phi)+\cos(\theta)\sin(\phi)\\[2.5mm] \cos(\theta+\phi)=\cos(\theta)\sin(\phi)-\sin(\theta)\sin(\phi).\end{array}\right.\]

Stewart Appendix H, Opgave 47
Leidt met behulp van de stelling De Moivre formules af voor \(\sin(3\theta)\) en \(\cos(3\theta)\).

Oplossing:
\begin{align*} \cos(3\theta)+i\sin(3\theta)&=e^{3\theta i}=\left(e^{\theta i}\right)^3=\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)^3\\[2.5mm] &=\cos^3(\theta)+3\cos^2(\theta)\cdot i\sin(\theta)+3\cos(\theta)\cdot i^2\sin^2(\theta)+i^3\sin^3(\theta)\\[2.5mm] &=\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)\sin^2(\theta)+i\left(3\cos^2(\theta)\sin(\theta)-\sin^3(\theta)\right). \end{align*}

Met behulp van \(\sin^2(\theta)=1-\cos^2(\theta)\) en \(\cos^2(\theta)=1-\sin^2(\theta)\) vinden we dan:

\[\left\{\begin{array}{l}\cos(3\theta)=\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)\sin^2(\theta)=4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)\\[2.5mm] \sin(3\theta)=3\cos^2(\theta)\sin(\theta)-\sin^3(\theta)=3\sin(\theta)-4\sin^3(\theta).\end{array}\right.\]

---

Laatst gewijzigd op 1 maart 2021