Speciale Functies – Hypergeometrische functies – Eigenschappen

Soms wordt de meest algemene hypergeometrische functie \({}_pF_q\) een gegeneraliseerde hypergeometrische functie genoemd. Dan slaan de woorden "hypergeometrische functie" voor het speciale geval

\[{}_2F_1(a,b;\,c;\,z)={}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\cdot\frac{z^n}{n!},\quad c\notin\{0,-1,-2,\ldots\}.\]

Merk op dat als \(a=-N\) met \(N\in\{0,1,2,\ldots\}\), dan geldt \((a)_n=(-N)_n=(-N)(-N+1)(-N+2)\cdots(-N+n-1)=0\) voor \(n=N+1,N+2,N+3,\ldots\). Dus

\[{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{-N,b}{c}\,;\,z\right)=\sum_{n=0}^N\frac{(-N)_n(b)_n}{(c)_n}\cdot\frac{z^n}{n!},\quad N\in\{0,1,2,\ldots\}.\]

Anders convergeert de reeks voor \(|z|<1\) en ook voor \(|z|=1\) als \(\text{Re}(c-a-b)>0\).

Veel elementaire functies hebben representaties als hypergeometrische reeksen. Een voorbeeld is

\[\ln(1+z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}z^{n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1)_n(1)_n}{(2)_n}\cdot\frac{(-1)^nz^{n+1}}{n!}=z\,{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{1,1}{2}\,;\,-z\right),\]

omdat \((1)_n=n!\) en \((2)_n=(n+1)!\). Ook geldt

\[\arctan z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1/2)_n(1)_n}{(3/2)_n}\cdot\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{n!}=z\,{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{1/2,1}{3/2}\,;\,-z^2\right),\]

omdat

\[\frac{(1/2)_n}{(3/2)_n}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdots\frac{2n-1}{2}} {\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdots\frac{2n+1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2n+1}{2}}=\frac{1}{2n+1}.\]

Merk op dat het voorbeeld \(\ln(1-z)=-z\,{}_2F_1(1,1;\,2;\,z)\) aantoont dat, hoewel de reeks convergeert voor \(|z|<1\), het een analytische voortzetting heeft als een enkelwaardige functie in het complexe vlak met uitzondering van de (halve) lijn van \(1\) tot \(\infty\). Dit beschrijft de algemene situatie; een \({}_2F_1\) functie heeft een analytische voortzetting in het complexe vlak met vertakkingspunten in \(1\) en \(\infty\).

Speciale gevallen leiden tot andere elementaire functies, zoals

\[{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{b}\,;\,z\right)={}_1F_0\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{-}\,;\,z\right) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-a}{n}(-z)^n=(1-z)^{-a},\quad|z|<1,\]

de zogenaamde binomiaalstelling, en

\[{}_0F_0\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{-}{-}\,;\,z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}=e^z,\quad z\in\mathbb{C}.\]

Merk op dat geldt

\[\lim\limits_{b\to\infty}{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{b}\,;\,\frac{z}{b}\right) =\lim\limits_{b\to\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_nz^n}{(c)_n\,n!}\cdot\frac{(b)_n}{b^n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{(c)_n}\cdot\frac{z^n}{n!}={}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c}\,;\,z\right)\]

en

\[\lim\limits_{c\to\infty}{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,cz\right) =\lim\limits_{c\to\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_nz^n}{n!}\cdot\frac{c^n}{(c)_n} =\sum_{n=0}^{\infty}(a)_n(b)_n\cdot\frac{z^n}{n!}={}_2F_0\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{-}\,;\,z\right).\]

Voor de hypergeometrische functie \({}_2F_1\) hebben we de integraalrepresentatie van Euler:

Stelling: Voor \(\text{Re}(c)>\text{Re}(b)>0\) geldt

\[{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,z\right)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\,dt\]

voor alle \(z\) in het complexe vlak met uitzondering van het deel van de reële as van \(1\) naar \(\infty\). Hier nemen we aan dat \(\arg(t)=\arg(1-t)=0\) en dat \((1-zt)^{-a}\) de hoofdwaarde aanneemt.

Bewijs: Neem eerst aan dat \(|z|<1\), dan volgt uit de binomiaalstelling dat

\[(1-zt)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^nt^n.\]

Hieruit volgt dat

\[\int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n\int_0^1t^{n+b-1}(1-t)^{c-b-1}\,dt.\]

De laatste integraal is een beta integraal die gelijk is aan

\[\int_0^1t^{n+b-1}(1-t)^{c-b-1}\,dt=B(n+b,c-b)=\frac{\Gamma(n+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(n+c)}.\]

Nu gebruiken we dat

\[\frac{\Gamma(n+b)}{\Gamma(b)}=b(b+1)(b+2)\cdots(b+n-1)=(b)_n,\quad n=0,1,2,\ldots\]

en vinden dat

\[\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\,dt =\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(n+b)}{\Gamma(n+c)}\frac{(a)_n}{n!}z^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\cdot\frac{z^n}{n!}={}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,z\right),\]

waarmee de stelling is bewezen voor \(|z|<1\). Omdat de integraal analytisch is in \(\mathbb{C}\setminus(1,\infty)\), geldt de stelling ook in dat gebied.

De integraalrepresentatie van Euler kan worden gebruikt om de sommatieformule van Gauss af te leiden:

Stelling: Voor \(\text{Re}(c-a-b)>0\) geldt

\[{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,1\right)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}.\]

Bewijs: Neem de limiet \(z\to1\) in de integraalrepresentatie van Euler, dan volgt

\begin{align*} {}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,1\right)&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-a-b-1}\,dt=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}B(b,c-a-b)\\[2.5mm] &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)} =\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} \end{align*}

voor \(\text{Re}(c)>\text{Re}(b)>0\) en \(\text{Re}(c-a-b)>0\). De voorwaarde \(\text{Re}(c)>\text{Re}(b)>0\) kan worden weggelaten door middel van analytische voortzetting.

Als \(a=-n\) met \(n\in\{0,1,2,\ldots\}\) dan gaat de sommatieformule van Gauss over in een eindige sommatiestelling genoemd naar Chu-Vandermonde:

Stelling: Voor \(c\neq0,-1,-2,\ldots\) geldt

\[{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{-n,b}{c}\,;\,1\right)=\frac{(c-b)_n}{(c)_n},\quad n=0,1,2,\ldots.\]

Bewijs: Voor \(a=-n\) met \(n\in\{0,1,2,\ldots\}\) geldt

\[\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} =\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-b)}=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}.\]

Met behulp van de binomiaalstelling kan de integraalrepresentatie van Euler worden geschreven als

\[{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,z\right)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}{}_1F_0\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{-}\,;\,zt\right)\,dt\]

voor \(\text{Re}(c)>\text{Re}(b)>0\). Dit kan worden gegeneraliseerd tot

\[{}_{p+1}F_{q+1}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a_1,a_2,\ldots,a_p,a_{p+1}}{b_1,b_2,\ldots,b_q,b_{q+1}}\,;\,z\right) =\frac{\Gamma(b_{q+1})}{\Gamma(a_{p+1})\Gamma(b_{q+1}-a_{p+1})}\int_0^1t^{a_{p+1}-1}(1-t)^{b_{q+1}-a_{p+1}-1} {}_pF_q\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a_1,a_2,\ldots,a_p}{b_1,b_2,\ldots,b_q}\,;\,zt\right)\,dt\]

voor \(\text{Re}(b_{q+1})>\text{Re}(a_{p+1})>0\).

Als een toepassing van de integraalrepresentatie van Euler zullen we de transformatieformule van Pfaff voor de \({}_2F_1\) bewijzen:

Stelling: \(\displaystyle{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,z\right)=(1-z)^{-a}{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,c-b}{c}\,;\,\frac{z}{z-1}\right)\).

Bewijs: We beginnen met de integraalrepresentatie van Euler

\[{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,z\right)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\,dt\]

voor \(\text{Re}(c)>\text{Re}(b)>0\). Met behulp van de substitutie \(t=1-s\) in de integraal volgt

\[\int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\,dt=-\int_1^0(1-s)^{b-1}s^{c-b-1}(1-z+zs)^{-a}\,ds =(1-z)^{-a}\int_0^1s^{c-b-1}(1-s)^{b-1}\left(1-\frac{zs}{z-1}\right)^{-a}\,ds,\]

waarmee de transformatieformule van Pfaff is bewezen voor \(\text{Re}(c)>\text{Re}(b)>0\). Deze voorwaarden kunnen worden weggelaten door middel van analytische voortzetting.

Een ander resultaat is de transformatieformule van Euler voor de \({}_2F_1\):

Stelling: \(\displaystyle{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,z\right)=(1-z)^{c-a-b}{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{c-a,c-b}{c}\,;\,z\right)\).

Bewijs: Pas de transformatieformule van Pfaff tweemaal toe:

\begin{align*} {}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,z\right)&=(1-z)^{-a}{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,c-b}{c}\,;\,\frac{z}{1-z}\right) =(1-z)^{-a}\cdot\left(1-\frac{z}{z-1}\right)^{b-c}{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{c-a,c-b}{c}\,;\,\frac{\frac{z}{z-1}}{\frac{z}{z-1}-1}\right)\\[2.5mm] &=(1-z)^{c-a-b}{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{c-a,c-b}{c}\,;\,z\right). \end{align*}

Merk op dat de transformatieformule van Euler ook geschreven kan worden in de vorm

\[(1-z)^{-c+a+b}{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,z\right)={}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{c-a,c-b}{c}\,;\,z\right) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n}\cdot\frac{z^n}{n!}.\]

Het linkerlid kan ook geschreven worden als

\[(1-z)^{-c+a+b}{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,z\right)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(c-a-b)_j}{j!}\,z^j \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\cdot\frac{z^k}{k!} =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n\frac{(a)_k(b)_k(c-a-b)_{n-k}}{(c)_k\,k!\,(n-k)!}\,z^n.\]

Vergelijken van de coëfficiënten van \(z^n\) geeft dan

\[\sum_{k=0}^n\frac{(a)_k(b)_k(c-a-b)_{n-k}}{(c)_k\,k!\,(n-k)!}=\frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n\,n!},\quad n=0,1,2,\ldots.\]

Merk op dat

\[\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)=(-1)^k(-n)(-n+1)\cdots(-n+k-1)=(-1)^k(-n)_k\]

en

\[(c-a-b)_{n-k}=\frac{(c-a-b)_n}{(c-a-b+n-k)(c-a-b+n-k+1)\cdots(c-a-b+n-1)}=\frac{(c-a-b)_n}{(-1)^k(1+a+b-c-n)_k}\]

voor \(k\in\{0,1,2,\ldots,n\}\) en \(n=0,1,2,\ldots\). Hieruit volgt dat

\[\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k(a)_k(b)_k}{(c)_k(1+a+b-c-n)_k\,k!}=\frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n(c-a-b)_n},\quad n=0,1,2,\ldots.\]

Dit is de Pfaff-Saalschütz sommatieformule voor een afbrekende \({}_3F_2\):

Stelling: \(\displaystyle{}_3F_2\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{-n,a,b}{c,1+a+b-c-n}\,;\,1\right)=\frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n(c-a-b)_n},\quad n=0,1,2,\ldots\).

Merk op dat het limietgeval voor \(n\to\infty\) van de Pfaff-Saalschütz sommatieformule reduceert tot de sommatieformule van Gauss voor de \({}_2F_1\). In feite geldt

\[(a)_n=a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1)=\frac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)}.\]

Hieruit volgt dat

\[\frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n(c-a-b)_n}=\frac{\Gamma(c-a+n)\Gamma(c-b+n)\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)\Gamma(c+n)\Gamma(c-a-b+n)} =\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\cdot\frac{\Gamma(c-a+n)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-a-b+n)}\]

Met behulp van de asymptotische formule van Stirling volgt

\[\frac{\Gamma(c-a+n)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-a-b+n)}\sim n^{c-a+c-b-c-c+a+b}=n^0=1\quad\text{voor}\quad n\to\infty.\]

Hieruit volgt dat

\[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n(c-a-b)_n}=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}.\]

Dus

\[{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,1\right)=\lim\limits_{n\to\infty}{}_3F_2\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{-n,a,b}{c,1+a+b-c-n}\,;\,1\right) =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n(c-a-b)_n}=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}.\]

De confluent hypergeometrische functie wordt gegeven door

\[{}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c}\,;\,z\right)=\lim\limits_{b\to\infty}{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,\frac{z}{b}\right) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{(c)_n}\,\frac{z^n}{n!},\quad c\notin\{0,-1,-2,\ldots\}.\]

Gebaseerd op de integraalrepresentatie van Euler voor de \({}_2F_1\), zou men verwachten dat de confluent hypergeometrische functie voldoet aan

\[{}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c}\,;\,z\right)=\lim\limits_{b\to\infty}{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,\frac{z}{b}\right) =\lim\limits_{b\to\infty}\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}\left(1-\frac{zt}{b}\right)^{-b}\,dt.\]

Nu geldt

\[\lim\limits_{b\to\infty}\left(1-\frac{zt}{b}\right)^{-b}=e^{zt},\]

waaruit volgt

Stelling: Voor \(\text{Re}(c)>\text{Re}(a)>0\) geldt \(\displaystyle{}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c}\,;\,z\right) =\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}e^{zt}\,dt\).

Bewijs: Merk op dat geldt

\[\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}e^{zt}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,\int_0^1t^{n+a-1}(1-t)^{c-a-1}\,dt\]

en voor \(\text{Re}(a)>0\) en \(\text{Re}(c-a)>0\)

\[\int_0^1t^{n+a-1}(1-t)^{c-a-1}\,dt=B(n+a,c-a)=\frac{\Gamma(n+a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(n+c)} =\frac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\,\frac{(a)_n}{(c)_n},\quad n=0,1,2,\ldots.\]

Hieruit volgt dat

\[\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}e^{zt}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{(c)_n}\,\frac{z^n}{n!}={}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c}\,;\,z\right).\]

Met behulp van deze integraalrepresentatie kunnen we de transformatieformule van Kummer afleiden:

Stelling: \(\displaystyle{}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c}\,;\,z\right)=e^z\,{}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{c-a}{c}\,;\,-z\right)\).

Bewijs: Met de substitutie \(t=1-u\) volgt dat

\[\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}e^{zt}\,dt=\int_0^1(1-u)^{a-1}u^{c-a-1}e^{z(1-u)}\,du=e^z\int_0^1u^{c-a-1}(1-u)^{a-1}e^{-zu}\,du.\]

Hieruit volgt dat

\[{}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c}\,;\,z\right)=e^z\,{}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{c-a}{c}\,;\,-z\right).\]

Merk op dat dit ook volgt uit de transformatieformule van Pfaff voor de \({}_2F_1\):

\[{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a,b}{c}\,;\,z\right)=(1-z)^{-b}\,{}_2F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{b,c-a}{c}\,;\,\frac{z}{z-1}\right).\]

Vervang \(z\) door \(z/b\) en neem de limiet \(b\to\infty\).

---

Last modified on 15 mei 2021