OnderwijsSpeciale Functies – Hypergeometrische functies
Het Pochhammer symbool of de verschoven faculteit \((a)_n\) wordt gedefinieerd door
\[(a)_n:=a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1),\quad n=1,2,3,\ldots\quad\text{en}\quad(a)_0:=1.\]Een hypergeometrische functie is de som van een hypergeometrische reeks, die als volgt wordt gedefinieerd.
Definitie: Een reeks \(\sum c_n\) heet hypergeometrisch als het quotiënt \(\displaystyle\frac{c_{n+1}}{c_n}\) een rationale functie van \(n\) is.
Door factorisatie betekent dit dat
\[\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{(n+a_1)(n+a_2)\cdots(n+a_p)z}{(n+b_1)(n+b_2)\cdots(n+b_q)(n+1)},\quad n=0,1,2,\ldots.\]De factor \(z\) verschijnt omdat de betreffende polynomen niet monisch hoeven te zijn. De factor \((n+1)\) in de noemer blijkt in het vervolg handig te zijn. Deze factor kan in de factoristie optreden, maar dat hoeft niet. Zo niet, dan kan deze extra factor worden gecompenseerd door een van de factoren \((n+a_i)\) in de teller (kies \(a_i=1\) voor zekere \(i\)).
Iteratie leidt tot
\[c_n=\frac{(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_p)_nz^n}{(b_1)_n(b_2)_n\cdots(b_q)_n\,n!}\,c_0,\quad n=0,1,2,\ldots.\]Dus
\[\sum_{n=0}^{\infty}c_n=c_0\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_p)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\cdots(b_q)_n}\cdot\frac{z^n}{n!}.\]Dit leidt tot:
Definitie: De hypergeometrische functie \({}_pF_q(a_1,a_2,\ldots,a_p;\,b_1,b_2,\ldots,b_q;\,z)\) wordt gedefinieerd door middel van een hypergeometrische reeks als
\[{}_pF_q\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_p}{b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_q}\,;\,z\right) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_p)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\cdots(b_q)_n}\cdot\frac{z^n}{n!}.\]Uiteraard moeten de parameters zo zijn dat de factoren in de noemer niet nul worden. Als een parameter \(a_i\) in de teller gelijk is aan \(-N\), met \(N\) een niet-negatief geheel getal, dan is de hypergeometrische functie een polynoom in \(z\). Anders wordt de convergentiestraal \(\rho\) van de hypergeometrische reeks gegeven door
\[\rho=\left\{\begin{array}{ll}\infty&\text{als}\quad p < q+1\\[2.5mm]1&\text{als}\quad p=q+1\\[2.5mm]0&\text{als}\quad p > q+1.\end{array}\right.\]Dit volgt onmiddellijk uit het quotiëntkenmerk. In feite, er geldt
\[\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\left\{\begin{array}{ll} 0&\text{als}\quad p < q+1\\[2.5mm]|z|&\text{als}\quad p=q+1\\[2.5mm]\infty&\text{als}\quad p > q+1.\end{array}\right.\]In het geval dat \(p=q+1\) is de situatie dat \(|z|=1\) van speciaal belang.
De hypergeometrische reeks \({}_{q+1}F_q(a_1,a_2,\ldots,a_{q+1};\,b_1,b_2,\ldots,b_q;\,z)\) met \(|z|=1\) convergeert absoluut als \(\text{Re}\left(\sum b_i-\sum a_j\right)>0\).
De reeks convergeert voorwaardelijk als \(|z|=1\) met \(z\ne 1\) en \(-1<\text{Re}\left(\sum b_i-\sum a_j\right)\leq0\) en de reeks divergeert als \(\text{Re}\left(\sum b_i-\sum a_j\right)\leq-1\).
Laatst gewijzigd op 15 mei 2021
