Differentiaalvergelijkingen – Reeksoplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen – Reguliere punten

Stelling: Als \(x_0\) een regulier punt is van de differentiaalvergelijking

\[y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0,\]

dan zijn zowel \(p(x)\) als \(q(x)\) analytisch in \(x=x_0\). Dat betekent dat er positieve constanten \(R_1\) en \(R_2\) bestaan zodat

\[p(x)=\sum_{n=0}^{\infty}p_0(x-x_0)^n,\quad|x-x_0| < R_1\;\quad\text{en}\quad\;q(x)=\sum_{n=0}^{\infty}q_n(x-x_0)^n,\quad|x-x_0| < R_2.\]

Dan bestaan er oplossingen \(y(x)\) van de differentiaalvergelijking die analytisch zijn in \(x=x_0\). In feite, als \(R=\min\{R_1,R_2\}\) dan kan de algemene oplossing geschreven worden als

\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n,\quad|x-x_0| < R.\]

Bovendien kunnen dan \(c_0=y(x_0)\) en \(c_1=y'(x_0)\) willekeurig worden gekozen en geldt dat \(y(x)=c_0y_1(x)+c_1y_2(x)\) waarbij \(y_1(x)\) en \(y_2(x)\) lineair onafhankelijke oplossingen zijn.

We hebben al enkele voorbeelden gezien bij het vak Analyse. Hier zullen we enkele andere voorbeelden bekijken.

Voorbeelden:

1) Beschouw de Airy differentiaalvergelijking \(y''(x)-xy(x)=0\). Dan is \(x=0\) een regulier punt van de differentiaalvergelijking. Er bestaan dus oplossingen in de vorm van een machtreeks rond \(x=0\). Stel dus

\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\quad\Longrightarrow\quad y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}\quad\Longrightarrow\quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}.\]

Invullen geeft dan:

\[\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}-x\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n-\sum_{n=1}^{\infty}c_{n-1}x^n=0.\]

Hieruit volgt dat \(2c_2=0\) en \((n+2)(n+1)c_{n+2}-c_{n-1}=0\) voor \(n=1,2,3,\ldots\). Dus: \(c_2=0\) en \(c_{n+1}=\displaystyle\frac{c_{n-1}}{(n+1)(n+2)}\) voor \(n=1,2,3,\ldots\). Omdat \(c_2=0\) volgt dat \(c_{3n+2}=0\) voor \(n=0,1,2,\ldots\). Verder volgt voor \(n=1,2,3,\ldots\) dat

\[c_{3n}=\frac{c_{3n-3}}{(3n-1)(3n)}=\frac{c_{3n-6}}{(3n-4)(3n-3)(3n-1)(3n)}=\cdots=\frac{c_0}{2\cdot3\cdot5\cdot6\cdots(3n-1)(3n)}\]

en

\[c_{3n+1}=\frac{c_{3n-2}}{(3n)(3n+1)}=\frac{c_{3n-5}}{(3n-3)(3n-2)(3n)(3n+1)}=\cdots=\frac{c_1}{3\cdot4\cdot6\cdot7\cdots(3n)(3n+1)}.\]

De algemene oplossing is dus \(y(x)=c_0y_1(x)+c_1y_2(x)\) met

\[y_1(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{3n}}{2\cdot3\cdot5\cdot6\cdots(3n-1)(3n)}\quad\text{en}\quad y_2(x)=x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{3n+1}}{3\cdot4\cdot6\cdot7\cdots(3n)(3n+1)}.\]

2) Beschouw de Hermite differentiaalvergelijking \(y''(x)-2xy'(x)+2\lambda y(x)=0\). Dan is \(x=0\) een regulier punt van de differentiaalvergelijking. Er bestaan dus oplossingen in de vorm van een machtreeks rond \(x=0\). Stel dus

\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\quad\Longrightarrow\quad y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}\quad\Longrightarrow\quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}.\]

Invullen geeft dan:

\[\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}-2x\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}+2\lambda\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0 \quad\Longleftrightarrow\quad\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n-2\sum_{n=0}^{\infty}nc_nx^n+2\lambda\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0.\]

Hieruit volgt: \((n+2)(n+1)c_{n+2}-(2n-2\lambda)c_n=0\) voor \(n=0,1,2,\ldots\). Dus: \(\displaystyle c_{n+2}=\frac{2(n-\lambda)}{(n+2)(n+1)}c_n\) voor \(n=0,1,2,\ldots\). Dus:

\[c_{2n}=\frac{2(2n-2-\lambda)}{(2n)(2n-1)}c_{2n-2}=\frac{2(2n-2-\lambda)2(2n-4-\lambda)}{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)}c_{2n-4} =\cdots=\frac{2^n(-\lambda)(2-\lambda)\cdots(2n-2-\lambda)}{(2n)!}c_0\]

en

\[c_{2n+1}=\frac{2(2n-1-\lambda)}{(2n+1)(2n)}c_{2n-1}=\frac{2(2n-1-\lambda)2(2n-3-\lambda)}{(2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)}c_{2n-3} =\cdots=\frac{2^n(1-\lambda)(3-\lambda)\cdots(2n-1-\lambda)}{(2n+1)!}c_1\]

voor \(n=1,2,3,\ldots\). De algemene oplossing is dus \(y(x)=c_0y_1(x)+c_1y_2(x)\) met

\[y_1(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n(-\lambda)(2-\lambda)\cdots(2n-2-\lambda)}{(2n)!}x^{2n}\quad\text{en}\quad y_2(x)=x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n(1-\lambda)(3-\lambda)\cdots(2n-1-\lambda)}{(2n+1)!}x^{2n+1}.\]

Merk op dat voor \(\lambda\in\mathbb{N}\) één van de reeksoplossingen afbreekt, waardoor er een polynoom(oplossing) ontstaat. Deze oplossingen \(H_{\lambda}(x)\) worden Hermite polynomen genoemd: \(H_0(x)=1\), \(H_1(x)=x\),

\[H_2(x)=1-2x^2,\quad H_3(x)=x-\frac{2}{3}x^3,\quad H_4(x)=1-4x^2+\frac{4}{3}x^4,\quad H_5(x)=x-\frac{4}{3}x^3+\frac{4}{15}x^5,\quad\ldots.\]

3) Beschouw de Chebyshev differentiaalvergelijking \((1-x^2)y''(x)-xy'(x)+\alpha^2y(x)=0\). Dan is \(x=0\) een regulier punt van de differentiaalvergelijking. Voor \(x\in(-1,1)\) bestaan er dus oplossingen in de vorm van een machtreeks rond \(x=0\). Stel dus

\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\quad\Longrightarrow\quad y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}\quad\Longrightarrow\quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}.\]

Invullen geeft dan:

\[(1-x^2)\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}-x\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}+\alpha^2\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0\]

oftewel

\[\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n-\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)c_nx^n-\sum_{n=0}^{\infty}nc_nx^n+\alpha^2\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0.\]

Hieruit volgt dat \((n+2)(n+1)c_{n+2}-\{n(n-1)+n-\alpha^2\}a_n=0\) oftewel \(c_{n+2}=\displaystyle\frac{n^2-\alpha^2}{(n+2)(n+1)}c_n\) voor \(n=0,1,2,\ldots\). Dus:

\[c_{2n}=\frac{(2n-2)^2-\alpha^2}{(2n)(2n-1)}c_{2n-2}=\cdots=\frac{(-\alpha^2)(4-\alpha^2)\cdots((2n-2)^2-\alpha^2)}{(2n)!}c_0\]

en

\[c_{2n+1}=\frac{(2n-1)^2-\alpha^2}{(2n+1)(2n)}c_{2n-1}=\cdots=\frac{(1-\alpha^2)(9-\alpha^2)\cdots((2n-1)^2-\alpha)}{(2n+1)!}c_1\]

voor \(n=1,2,3,\ldots\). De algemene oplossing is dus \(y(x)=c_0y_1(x)+c_1y_2(x)\) met

\[y_1(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-\alpha^2)(4-\alpha^2)\cdots((2n-2)^2-\alpha^2)}{(2n)!}x^{2n}\quad\text{en}\quad y_2(x)=x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1-\alpha^2)(9-\alpha^2)\cdots((2n-1)^2-\alpha)}{(2n+1)!}x^{2n+1}.\]

Merk op dat voor \(\alpha\in\mathbb{N}\) één van de reeksoplossingen afbreekt, waardoor er een polynoom(oplossing) ontstaat. Deze oplossingen \(T_{\alpha}(x)\) worden Chebyshev polynomen genoemd: \(T_0(x)=1\), \(T_1(x)=x\),

\[T_2(x)=1-2x^2,\quad T_3(x)=x-\frac{4}{3}x^3,\quad T_4(x)=1-8x^2+8x^4,\quad T_5(x)=x-4x^3+\frac{16}{5}x^5,\quad\ldots.\]

4) Beschouw de Legendre differentiaalvergelijking \((1-x^2)y''(x)-2xy'(x)+\alpha(\alpha+1)\). Dan is \(x=0\) een regulier punt van de differentiaalvergelijking. Voor \(x\in(-1,1)\) bestaan er dus oplossingen in de vorm van een machtreeks rond \(x=0\). Stel dus

\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\quad\Longrightarrow\quad y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}\quad\Longrightarrow\quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}.\]

Invullen geeft dan:

\[(1-x^2)\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}-2x\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}+\alpha(\alpha+1)\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0\]

oftewel

\[\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n-\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)c_nx^n-2\sum_{n=0}^{\infty}nc_nx^n+\alpha(\alpha+1)\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0.\]

Hieruit volgt dat \((n+2)(n+1)c_{n+2}-\{n(n-1)+2n-\alpha(\alpha+1)\}a_n=0\) oftewel \(c_{n+2}=\displaystyle\frac{(n-\alpha)(n+\alpha+1)}{(n+2)(n+1)}c_n\) voor \(n=0,1,2,\ldots\). Op dezelfde manier als hierboven vinden we dan:

\[c_{2n}=\frac{(-\alpha)(2-\alpha)\cdots(2n-2-\alpha)(\alpha+1)(\alpha+3)\cdots(\alpha+2n-1)}{(2n)!}c_0\]

en

\[c_{2n+1}=\frac{(1-\alpha)(3-\alpha)\cdots(2n-1-\alpha)(\alpha+2)(\alpha+4)\cdots(\alpha+2n)}{(2n+1)!}c_1\]

voor \(n=1,2,3,\ldots\). De algemene oplossing is dus \(y(x)=c_0y_1(x)+c_1y_2(x)\) met

\[y_1(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-\alpha)(2-\alpha)\cdots(2n-2-\alpha)(\alpha+1)(\alpha+3)\cdots(\alpha+2n-1)}{(2n)!}x^{2n}\]

en

\[y_2(x)=x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1-\alpha)(3-\alpha)\cdots(2n-1-\alpha)(\alpha+2)(\alpha+4)\cdots(\alpha+2n)}{(2n+1)!}x^{2n+1}.\]

Merk op dat voor \(\alpha\in\mathbb{N}\) één van de reeksoplossingen afbreekt, waardoor er een polynoom(oplossing) ontstaat. Deze oplossingen \(P_{\alpha}(x)\) worden Legendre polynomen genoemd: \(P_0(x)=1\), \(P_1(x)=x\),

\[P_2(x)=1-3x^2,\quad P_3(x)=x-\frac{5}{3}x^3,\quad P_4(x)=1-10x^2+\frac{35}{3}x^4,\quad P_5(x)=x-\frac{14}{3}x^3+\frac{21}{5}x^5,\quad\ldots.\]

---

Laatst gewijzigd op 13 mei 2021