OnderwijsDifferentiaalvergelijkingen – Reeksoplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen
Definitie: Een functie \(f\) heet analytisch in \(x=x_0\) als \(f\) een Taylorreeksontwikkeling rond \(x=x_0\) heeft:
\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]met een positieve convergentiestraal.
We beschouwen homogene tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen van de vorm
\[P(x)y''(x)+Q(x)y'(x)+R(x)y(x)=0\]waarbij \(P\), \(Q\) en \(R\) polynomen zijn zonder gemeenschappelijk nulpunt.
Definitie: Een punt \(x_0\) heet een regulier punt (in het boek: gewoon punt) als \(P(x_0)\neq0\). Anders, dus als \(P(x_0)=0\), heet het een singulier punt.
Neem aan dat \(x_0\) een regulier punt is van de differentiaalvergelijking. Omdat \(P(x)\) continu is, volgt nu dat er een open interval \(I\) bestaat dat \(x_0\) bevat, waarin \(P(x)\) nergens nul wordt. In dat interval \(I\) kan de differentiaalvergelijking door \(P(x)\) worden gedeeld tot
\[y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0,\]waarbij \(p(x)=\displaystyle\frac{Q(x)}{P(x)}\) en \(q(x)=\displaystyle\frac{R(x)}{P(x)}\) continue functies zijn op \(I\). Uit de existentie- en eenduidigheidsstelling volgt dan dat er een unieke oplossing van de differentiaalvergelijking in het interval \(I\) bestaat, die ook voldoet aan de beginvoorwaarden \(y(x_0)=x_0\) en \(y'(x_0)=y_0'\) voor willekeurige waarden van \(y_0\) en \(y_0'\). In dat geval kan de algemene oplossing worden geschreven als een machtreeks van de vorm \(y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n\) met een positieve convergentiestraal.
Echter, als \(x_0\) een singulier punt van de differentiaalvergelijking is, dan geldt de existentie- en eenduidigheidsstelling niet. Maar in sommige gevallen kan de methode van Frobenius worden toegepast om oplossingen te vinden van de vorm \(y(x)=(x-x_0)^r\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n\) voor zekere \(r\in\mathbb{R}\). Dit wordt een gegeneraliseerde machtreeks genoemd.
We beschouwen nu homogene tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen die kunnen worden geschreven in de vorm
\[y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0.\]Definitie: Een punt \(x_0\) heet een regulier punt van de differentiaalvergelijking als zowel \(p(x)\) als \(q(x)\) analytisch zijn in \(x=x_0\). Anders heet \(x_0\) een singulier punt van de differentiaalvergelijking.
Definitie: Als \(x_0\) een singulier punt van de differentiaalvergelijking is en zowel \((x-x_0)p(x)\) als \((x-x_0)^2q(x)\) analytisch zijn in \(x=x_0\), dan heet \(x_0\) een regulier singulier punt van de differentiaalvergelijking. Anders heet \(x_0\) een irregulier singulier punt van de differentiaalvergelijking.
Laatst gewijzigd op 13 mei 2021
