Differentiaalvergelijkingen – Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen

Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen zijn veel moeilijker op te lossen dan lineaire differentiaalvergelijkingen. Er bestaat nauwelijks enige theorie over het oplossen van niet-lineaire differentiaalvergelijkingen. Soms kan men echter wel kwalitatieve informatie over de oplossing(en) verkrijgen zonder de differentiaalvergelijking(en) expliciet op te lossen (hetgeen kwantitatieve informatie zou opleveren). Dit is vergelijkbaar met de kwalitatieve informatie, die men kan verkrijgen uit het zogenaamde faseportret van een eerste orde differentiaalvergelijking van de vorm

\[\frac{dy}{dt}=F(t,y),\]

waarbij \(F(t,y)\) een of andere uitdrukking in termen van de onafhankelijk variabele \(t\) en de afhankelijke variabele \(y\) is (\(y=y(t)\)). Voor ieder punt \((t,y)\) in het \((t,y)\)-vlak kan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van een oplossing (een zogenaamde baan) worden bepaald. Dit leidt tot een zogenaamd richtingsveld in het fasevlak. Dit is reeds aan de orde geweest bij het vak analyse.

In het geval van een homogeen lineair stelsel

\[\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\quad\text{met}\quad\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\end{pmatrix}\quad\text{en}\quad A\quad\text{een \(2\times2\) matrix,}\]

kunnen we de banen tekenen in het \((x_1,x_2)\)-vlak (het fasevlak). Deze situatie lijkt sterk op het geval van een zogenaamd autonoom stelsel \(\displaystyle\frac{dy}{dt}=F(y)\), waarbij \(F\) alleen van \(y\) afhangt en niet expliciet van \(t\). De waarden van \(y\) waarvoor \(F(y)=0\) noemt men wel kritieke of stationaire punten. Hiervoor geldt dus dat \(\displaystyle\frac{dy}{dt}=0\); deze worden daarom ook wel evenwichtsoplossingen genoemd.

Beschouw nu: \(\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)\) met \(A\) een \(2\times2\) matrix. We weten dan: als \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{r t}\), dan is \(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\) een eigenvector van \(A\) behorende bij de eigenwaarde \(r\). Stel dat \(r_1\) en \(r_2\) de eigenwaarden zijn van \(A\), dan onderscheiden we de volgende mogelijkheden:

1. \(r_1,r_2\in\mathbb{R}\) met \(r_1\neq r_2\) en \(r_1r_2 > 0\): de oorsprong \(O\) heet een knoop(punt);


2. \(r_1,r_2\in\mathbb{R}\) met \(r_1\neq r_2\) en \(r_1r_2 < 0\): de oorsprong \(O\) heet een zadelpunt;


3. \(r_1,r_2\in\mathbb{R}\) met \(r_1=r_2=r\) (algebraïsche multipliciteit \(2\)):
   
   
   1. meetkundige multipliciteit \(2\): de oorsprong \(O\) heet een zuivere knoop;
   
   
   2. meetkundige multipliciteit \(1\): de oorsprong \(O\) heet een onzuivere knoop;
4. \(r_1,r_2\notin\mathbb{R}\) met \(r_{1,2}=\lambda\pm i\mu\), \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) en \(\lambda\neq0\): de oorsprong \(O\) heet een spiraalpunt;


5. \(r_1,r_2\notin\mathbb{R}\) met \(r_{1,2}=\lambda\pm i\mu\), \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) en \(\lambda=0\): de oorsprong \(O\) heet een centerpunt.

Stabiliteit

Beschouw het gedrag van de oplossingen voor \(t\to\infty\): het stelsel heet

1. instabiel als er oplossingen zijn die naar oneindig gaan;


2. stabiel als alle oplossingen begrensd blijven;


3. asymptotisch stabiel als alle oplossingen naar de oorsprong gaan.

In het geval van autonome stelsels, die lokaal lineair zijn, kunnen we lokaal (rond de kritieke punten) lineariseringen gebruiken om het gedrag van de oplossingen van het niet-lineaire stelsel te vinden.

---

Laatst gewijzigd op 16 augustus 2021