OnderwijsSpeciale Functies – Asymptotiek – Het lemma van Watson
We bewijzen het lemma van Watson:
Lemma: Laat \(f\) een complexwaardige functie zijn van een reële variabele \(t\) zodat
- \(f\) is continu op \((0,\infty)\),
- \(f(t)\sim\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^{\lambda_n-1}\quad\text{voor}\quad t\downarrow 0\) met \(0<\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots\) en
- voor een zekere vaste \(c>0\): \(f(t)=\mathcal{O}\left(e^{ct}\right)\) voor \(t\rightarrow\infty\).
Dan geldt
\[F(z)=\int_0^{\infty}e^{-zt}f(t)\,dt\sim\sum_{n=0}^{\infty}a_n\frac{\Gamma(\lambda_n)}{z^{\lambda_n}} \quad\text{voor}\quad|z|\to\infty\quad\text{en}\quad\left|\arg(z)\right|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}\]voor zekere \(\delta\) zodat \(0<\delta<\pi/2\).
Bewijs: Uit de theorie van de Laplace transformatie is bekend dat
\[F(z)=\int_0^{\infty}e^{-zt}f(t)\,dt,\]de Laplace getransformeerde van \(f\), bestaat voor \(\text{Re}(z)>c\) als \(f\) voldoet aan de drie voorwaarden genoemd in het lemma. Dat wil zeggen: de integraal convergeert voor \(\text{Re}(z)>c\). Merk op dat uit de tweede voorwaarde volgt dat
\[\left|f(t)-\sum_{n=0}^{N-1}a_nt^{\lambda_n-1}\right|\le M\,t^{\lambda_N-1}\quad\text{for}\quad t\downarrow 0,\]waarbij \(M>0\) een zekere constante is. Samen met de derde voorwaarde volgt hieruit dat
\[\left|f(t)-\sum_{n=0}^{N-1}a_nt^{\lambda_n-1}\right|\le K\,e^{ct}t^{\lambda_N-1}\quad\text{for}\quad t>0,\]waarbij \(K>0\) een zekere constante is. Dan geldt
\[\left|\int_0^{\infty}e^{-zt}f(t)\,dt-\sum_{n=0}^{N-1}a_n\int_0^{\infty}e^{-zt}t^{\lambda_n-1}\,dt\right| \leq K\int_0^{\infty}e^{-(\text{Re}(z)-c)t}t^{\lambda_N-1}\,dt.\]Merk op dat voor \(\text{Re}(z)>0\) geldt
\[\int_0^{\infty}e^{-zt}t^{\lambda_n-1}\,dt=\frac{1}{z^{\lambda_n}}\int_0^{\infty}e^{-\tau}\tau^{\lambda_n-1}\,d\tau =\frac{\Gamma(\lambda_n)}{z^{\lambda_n}}.\]Dus geldt
\[\left|F(z)-\sum_{n=0}^{N-1}a_n\frac{\Gamma(\lambda_n)}{z^{\lambda_n}}\right| \leq K\,\frac{\Gamma(\lambda_N)}{\left(\text{Re}(z)-c\right)^{\lambda_N}} =K\,\frac{\Gamma(\lambda_N)}{|z|^{\lambda_N}}\left(\frac{|z|}{\text{Re}(z)-c}\right)^{\lambda_N}.\]Omdat \(|\arg(z)|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}\), geldt \(\text{Re}(z)\geq |z|\sin\delta\) waaruit volgt dat \(\text{Re}(z)-c\geq\frac{1}{2}|z|\sin\delta\) voor \(|z|\) voldoende groot. Hieruit volgt dat geldt
\[F(z)-\sum_{n=0}^{N-1}a_n\frac{\Gamma(\lambda_n)}{z^{\lambda_n}}=\mathcal{O}\left(z^{-\lambda_N}\right),\]hetgeen het lemma van Watson bewijst.
Enkele voorbeelden van de toepassing van het lemma van Watson:
1) Beschouw de functie \(f(t)=1/(1+t)\). Dan geldt: \(f\) is continu op \((0,\infty)\) en
\[f(t)=\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^n,\quad |t|<1.\]Nu volgt uit het lemma van Watson dat
\[F(z)=\int_0^{\infty}e^{-zt}f(t)\,dt=\int_0^{\infty}\frac{e^{-zt}}{1+t}\,dt\sim \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\Gamma(n+1)}{z^{n+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{n!}{z^{n+1}}\quad\text{voor}\quad |z|\to\infty\quad\text{en}\quad\left|\arg(z)\right|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}.\]2) Beschouw de functie \(f(t)=1/\sqrt{1+t^2}\). Dan geldt: \(f\) is continu op \((0,\infty)\) en
\[f(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}=(1+t^2)^{-\frac{1}{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n}{n!}t^{2n},\quad |t|<1.\]Nu volgt uit het lemma van Watson dat
\[F(z)=\int_0^{\infty}e^{-zt}f(t)\,dt=\int_0^{\infty}\frac{e^{-zt}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt\sim \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n}{n!}\cdot\frac{(2n)!}{z^{2n+1}}\quad\text{voor}\quad|z|\to\infty \quad\text{en}\quad\left|\arg(z)\right|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}.\]Omdat geldt
\[\left(\frac{1}{2}\right)_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdots\left(\frac{1}{2}+n-1\right) =\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^n}\cdot\frac{2\cdot4\cdots(2n)}{2^n\,n!}=\frac{(2n)!}{2^{2n}\,n!},\]kan dit ook worden geschreven als
\[\int_0^{\infty}\frac{e^{-zt}}{\sqrt{1+t^2}}\,dt\sim \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{(2n)!}{2^n\,n!}\right)^2\frac{1}{z^{2n+1}}\quad\text{voor}\quad|z|\to\infty \quad\text{en}\quad\left|\arg(z)\right|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}.\]3) Beschouw de functie \(f(t)=\ln(1+t^2)\). Dan geldt: \(f\) is continu op \((0,\infty)\) en
\[f(t)=\ln(1+t^2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}t^{2n+2},\quad |t|<1.\]Nu volgt uit het lemma van Watson dat
\[F(z)=\int_0^{\infty}e^{-zt}f(t)\,dt=\int_0^{\infty}e^{-zt}\ln(1+t^2)\,dt\sim \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}\cdot\frac{(2n+2)!}{z^{2n+3}}\quad\text{voor}\quad|z|\to\infty\quad\text{en}\quad \left|\arg(z)\right|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}.\]Merk op dat dit ook geschreven kan worden als
\[\int_0^{\infty}e^{-zt}\ln(1+t^2)\,dt\sim2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2n+1)!}{z^{2n+3}}\quad\text{voor}\quad |z|\to\infty\quad\text{en}\quad\left|\arg(z)\right|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}.\]4) Voor \(\text{Re}(c)>\text{Re}(a)>0\) kan de confluent hypergeometrische functie worden geschreven als
\[{}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c}\,;\,z\right)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_0^1e^{z\tau}\tau^{a-1}(1-\tau)^{c-a-1}\,d\tau.\]Nu volgt met behulp van de substitutie \(\tau=1-t\) dat
\[{}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c}\,;\,z\right)=\frac{\Gamma(c)\,e^z}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)} \int_0^1e^{-zt}(1-t)^{a-1}t^{c-a-1}\,dt=\int_0^{\infty}e^{-zt}f(t)\,dt,\]waarbij
\[f(t)=\frac{\Gamma(c)\,e^z}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}(1-t)^{a-1}t^{c-a-1}\quad\text{for}\quad0 < t < 1\]en \(f(t)=0\) voor \(t\geq 1\). Merk op dat geldt
\[f(t)=\frac{\Gamma(c)\,e^z}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\binom{a-1}{n}t^{n+c-a-1}\quad\text{for}\quad t\downarrow 0.\]Nu volgt uit het lemma van Watson dat
\[{}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c}\,;\,z\right)\sim\frac{\Gamma(c)\,e^z}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\binom{a-1}{n}\frac{\Gamma(n+c-a)}{z^{n+c-a}}\quad\text{voor}\quad|z|\to\infty\quad\text{en}\quad \left|\arg(z)\right|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}.\]Omdat geldt
\[\frac{\Gamma(n+c-a)}{\Gamma(c-a)}=(c-a)_n\quad\text{and}\quad (-1)^n\binom{a-1}{n}=\frac{(1-a)_n}{n!},\]kan dit ook worden geschreven als
\[{}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c}\,;\,z\right)\sim\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)}\,e^z\,z^{a-c}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-a)_n(c-a)_n}{n!}\frac{1}{z^n} =\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)}\,e^z\,z^{a-c}{}_2F_0\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{1-a,\,c-a}{-}\,;\,\frac{1}{z}\right)\]voor \(|z|\to\infty\) en \(\left|\arg(z)\right|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}\).
Ten slotte leiden we twee asymptotische ontwikkelingen af voor de Besselfunctie van de eerste soort.
Voor \(\text{Re}(\nu)>-1/2\) kan de Besselfunctie van de eerste soort van orde \(\nu\) worden geschreven als
\[J_{\nu}(z)=\frac{1}{\Gamma(\nu+\frac{1}{2})\sqrt{\pi}}\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu} \int_{-1}^1e^{izt}(1-t^2)^{\nu-\frac{1}{2}}\,dt.\]Nu volgt met behulp van de substitutie \(t=2\tau-1\) voor \(\text{Re}(\nu)>-1/2\)
\[J_{\nu}(z)=\frac{2^{2\nu}e^{-iz}}{\Gamma(\nu+\frac{1}{2})\sqrt{\pi}}\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu} \int_0^1e^{2iz\tau}\tau^{\nu-\frac{1}{2}}(1-\tau)^{\nu-\frac{1}{2}}\,d\tau.\]Voor \(\text{Re}(c)>\text{Re}(a)>0\) geldt
\[{}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c}\,;\,z\right)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_0^1e^{zt}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}\,dt,\]waaruit volgt dat voor \(\text{Re}(\nu)>-1/2\) geldt
\[J_{\nu}(z)=\frac{2^{2\nu}e^{-iz}}{\Gamma(\nu+\frac{1}{2})\sqrt{\pi}}\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu} \frac{\Gamma(\nu+\frac{1}{2})\Gamma(\nu+\frac{1}{2})}{\Gamma(2\nu+1)} {}_1F_1\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\textstyle\nu+\frac{1}{2}}{2\nu+1}\,;\,2iz\right).\]Nu volgt met behulp van de asymptotische ontwikkeling voor de confluent hypergeometrische functie dat
\[J_{\nu}(z)\sim\frac{2^{2\nu}e^{-iz}}{\Gamma(\nu+\frac{1}{2})\sqrt{\pi}} \left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}e^{2iz}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{\nu-\frac{1}{2}}{n}\frac{\Gamma(n+\nu+\frac{1}{2})}{(2iz)^{n+\nu+\frac{1}{2}}}\]voor \(|z|\to\infty\) en \(\left|\arg(2iz)\right|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}\). Nu volgt met behulp van
\[\frac{1}{\Gamma(\nu+\frac{1}{2})}\binom{\nu-\frac{1}{2}}{n} =\frac{1}{\Gamma(\nu+\frac{1}{2})}\cdot\frac{\Gamma(\nu+\frac{1}{2})}{n!\,\Gamma(\nu-n+\frac{1}{2})} =\frac{1}{\Gamma(\nu-n+\frac{1}{2})\,n!}\]en \(i=e^{\pi i/2}\) dat
\[J_{\nu}(z)\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi z}}\,e^{i\left(z-\frac{\pi\nu}{2}-\frac{\pi}{4}\right)} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(\nu+n+\frac{1}{2})}{\Gamma(\nu-n+\frac{1}{2})\,n!}\left(\frac{i}{2z}\right)^n\]voor \(|z|\to\infty\) en \(\left|\arg(iz)\right|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}\) oftewel \(-\pi<-\pi+\delta\leq\arg(z)\leq-\delta<0\).
Op dezelfde manier leidt de substitutie \(t=1-2\tau\) tot
\[J_{\nu}(z)\sim\frac{2^{2\nu}e^{iz}}{\Gamma(\nu+\frac{1}{2})\sqrt{\pi}} \left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}e^{-2iz}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{\nu-\frac{1}{2}}{n}\frac{\Gamma(n+\nu+\frac{1}{2})}{(-2iz)^{n+\nu+\frac{1}{2}}}\]voor \(|z|\to\infty\) en \(\left|\arg(-2iz)\right|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}\). In dat geval volgt met behulp van \(-i=e^{-\pi/2}\) dat
\[J_{\nu}(z)\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi z}}\,e^{-i\left(z-\frac{\pi\nu}{2}-\frac{\pi}{4}\right)} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(\nu+n+\frac{1}{2})}{\Gamma(\nu-n+\frac{1}{2})\,n!}\left(\frac{1}{2iz}\right)^n\]voor \(|z|\to\infty\) en \(\left|\arg(-iz)\right|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2}\) oftewel \(0<\delta\leq\arg(z)\le\pi-\delta<\pi\).
Last modified on 2 oktober 2021
