Speciale Functies – Asymptotiek – Asymptotische ontwikkelingen

Laat \(z\) een complexe variabele zijn met \(\alpha\leq\arg(z)\leq\beta\) en laat

\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{z^n}=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^{-n}\tag1\]

een formele machtreeks zijn die convergent of divergent kan zijn.

Definitie: De reeks (1) heet een asymptotische ontwikkeling, of een asymptotische machtreeks, van een functie \(f\) voor \(|z|\to\infty\) en \(\alpha\leq\arg(z)\leq\beta\) als voor elke \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\)

\[f(z)=\sum_{k=0}^{n-1}a_kz^{-k}+R_n(z),\]

waarbij

\[R_n(z)=\mathcal{O}\left(z^{-n}\right)\quad\text{voor}\quad|z|\to\infty\quad\text{en}\quad\alpha\leq\arg(z)\leq\beta.\]

Notatie:

\[f(z)\sim a_0+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+\ldots\quad\text{voor}\quad|z|\to\infty\quad\text{en}\quad\alpha\leq\arg(z)\leq\beta.\]

Stelling: Een functie \(f\) heeft een asymptotische ontwikkeling van de vorm (1) voor \(|z|\to\infty\) en \(\alpha\leq\arg(z)\leq\beta\) dan en slechts dan als voor elke \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\)

\[z^n\left[f(z)-\sum_{k=0}^{n-1}a_kz^{-k}\right]\to a_n\quad\text{voor}\quad |z|\to\infty\quad\text{en}\quad\alpha\leq\arg(z)\leq\beta.\]

Een gevolg van deze stelling is dat een functie \(f\) hoogstens één asymptotische ontwikkeling van de vorm (1) heeft voor \(\alpha\leq\arg(z)\leq\beta\). In een ander onbegrensd gebied \(\alpha'\leq\arg(z)\leq\beta'\) zou de asymptotische ontwikkeling anders kunnen zijn. Echter, twee verschillende functies zouden wel dezelfde asymptotische ontwikkeling in een bepaald gebied kunne hebben. Bijvoorbeeld, als voor zekere \(\delta>0\)

\[f(z)\sim\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^{-n}\quad\text{voor}\quad|z|\to\infty\quad\text{en}\quad |\arg(z)|\leq\frac{\pi}{2}-\delta<\frac{\pi}{2},\]

dan heeft \(f(z)+e^{-z}\) dezelfde asymptotische ontwikkeling.

Enkele voorbeelden:

1) De exponentiële integraal \(E_1\) wordt gedefinieerd door

\[E_1(x)=\int_x^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,dt=\int_x^{\infty}e^{-t}t^{-1}\,dt,\quad x>0.\]

Partiële integratie leidt tot

\begin{align*} E_1(x)&=-e^{-t}t^{-1}\Big|_x^{\infty}-\int_x^{\infty}e^{-t}t^{-2}\,dt =-e^{-t}t^{-1}\bigg|_x^{\infty}+e^{-t}t^{-2}\bigg|_x^{\infty}+2\int_x^{\infty}e^{-t}t^{-3}\,dt\\[2.5mm] &=e^{-x}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}-\ldots+(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}\right] +(-1)^nn!\int_x^{\infty}e^{-t}t^{-n-1}\,dt. \end{align*}

Nerk op dat voor vaste \(n\)

\[\left|(-1)^nn!\int_x^{\infty}e^{-t}t^{-n-1}\,dt\right|=n!\int_x^{\infty}e^{-t}t^{-n-1}\,dt<\frac{n!}{x^{n+1}}\int_x^{\infty}e^{-t}\,dt =\frac{n!\,e^{-x}}{x^{n+1}}.\]

Dit gaat naar nul voor \(x\to\infty\). In feite is dit \(\mathcal{O}(x^{-n-1})\) voor \(x\to\infty\). Dus geldt

\[E_1(x)=\int_x^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,dt\sim e^{-x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}\quad\text{voor}\quad x\to\infty.\]

Merk op dat deze asymptotische reeks divergeert voor alle \(x>0\). Echter, als we een eindig aantal termen nemen, dan hebben we voor \(x\) voldoende groot een goede benadering van \(E_1(x)\) gevonden.

2) Voor \(\text{Re}(a)>0\) wordt de onvolledige gammafunctie gedefinieerd door

\[\Gamma(a,x)=\int_x^{\infty}e^{-t}t^{a-1}\,dt=\Gamma(a)-\int_0^xe^{-t}t^{a-1}\,dt=\Gamma(a)-\gamma(a,x),\quad x>0.\]

Net zoals in het vorige voorbeeld, leidt partiële integratie tot

\[\Gamma(a,x)\sim e^{-x}x^{a}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a-1)(a-2)\cdots(a-n+1)}{x^{n+1}}\quad\text{voor}\quad x\to\infty.\]

3) De complementaire errorfunctie wordt gedefinieerd door

\[\text{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}\,dt,\quad x>0.\]

Omdat geldt

\[\int_x^{\infty}e^{-t^2}\,dt=-\int_x^{\infty}\frac{1}{2t}\,de^{-t^2},\]

volgt door herhaalde partiële integratie voor \(x>0\)

\[\text{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\left[\frac{e^{-x^2}}{2x}-\int_x^{\infty}\frac{e^{-t^2}}{2t^2}\,dt\right] =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\left[\frac{e^{-x^2}}{2x}-\frac{e^{-x^2}}{4x^3}+\int_x^{\infty}\frac{e^{-t^2}}{4t^3}\,dt\right] =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{e^{-x^2}}{2x}\left[\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{1\cdot 3\cdots(2k-1)}{(2x^2)^k}+R_n(x)\right],\]

waarbij

\[R_n(x)=(-1)^{n+1}\frac{1\cdot 3\cdots(2n+1)}{2^{n+1}}\,2xe^{x^2}\int_x^{\infty}\frac{e^{-t^2}}{t^{2n+2}}\,dt.\]

Dan geldt

\[\left|R_n(x)\right|\le\frac{1\cdot 3\cdots(2n+1)}{(2x^2)^{n+1}}.\]

Dus geldt

\[\text{erfc}(x)\sim\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1\cdot 3\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n} \quad\text{voor}\quad x\to\infty.\]

---

Last modified on 2 oktober 2021