OnderwijsLineaire Algebra – Symmetrische matrices en kwadratische vormen
Definitie: Een matrix heet symmetrisch als \(A^T=A\).
Opmerking: Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant.
Symmetrische matrices hebben fraaie eigenschappen. De belangrijkste eigenschap van een symmetrische matrix is dat die altijd diagonaliseerbaar is. We zullen dit in stappen laten zien. We beginnen met:
Stelling: Als \(A\) een symmetrische matrix is, dan zijn eigenvectoren van \(A\) behorende bij verschillende eigenwaarden orthogonaal.
Bewijs: Stel dat \(A\) is symmetrisch (dus: \(A^T=A\)), \(A\mathbf{v}_1=\lambda_1\mathbf{v}_1\) en \(A\mathbf{v}_2=\lambda_2\mathbf{v}_2\) met \(\lambda_1\neq\lambda_2\). Dan geldt:
\[\lambda_1(\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2)=(\lambda_1\mathbf{v}_1)\cdot\mathbf{v}_2=(\lambda_1\mathbf{v}_1)^T\mathbf{v}_2 =(A\mathbf{v}_1)^T\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1^TA^T\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1^TA\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1^T(\lambda_2\mathbf{v}_2) =\mathbf{v}_1\cdots(\lambda_2\mathbf{v}_2)=\lambda_2(\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2).\]Dus: \((\lambda_1-\lambda_2)(\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2)=0\). Maar \(\lambda_1\neq\lambda_2\), dus: \(\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=0\). De vectoren \(\mathbf{v}_1\) en \(\mathbf{v}_2\) zijn dus orthogonaal.
Definitie: Een matrix heet orthogonaal diagonaliseerbaar als er een orthogonale matrix \(P\) en een diagonaalmatrix \(D\) bestaan zodat \(A=PDP^{-1}=PDP^T\).
Een orthogonale matrix is een vierkante matrix met orthonormale kolommen. Voor een orthogonale matrix \(P\) geldt dus dat \(P^TP=I\) en dat \(P\) vierkant is. Dus: \(P\) is inverteerbaar en \(P^{-1}=P^T\).
Stelling: Een vierkante matrix is orthogonaal diagonaliseerbaar dan en slechts dan als \(A\) symmetrisch is.
Deze stelling zegt dus dat elke symmetrische matrix niet alleen diagonaliseerbaar is, maar zelfs orthogonaal diagonaliseerbaar. Bovendien is elke orthogonaal diagonaliseerbare matrix een symmetrische matrix. Dat laatste is erg eenvoudig in te zien:
Bewijs: Als \(A\) orthogonaal diagonaliseerbaar is, dan geldt: \(A=PDP^T\) voor zekere orthogonale matrix \(P\) en diagonaalmatrix \(D\). Maar dan geldt:
\[A^T=(PDP^T)^T=(P^T)^TD^TP^T=PD^TP^T=PDP^T=A.\]Dus: \(A^T=A\). Oftewel: \(A\) is symmetrisch.
Het bewijs van het omgekeerde is lastiger. In de vraagstukken 23 en 24 van §5.5 van Lay wordt aangetoond dat een symmetrische matrix alleen reële eigenwaarden heeft. We hebben gezien dat eigenvectoren van een symmetrische matrix behorende bij verschillende eigenwaarden orthogonaal zijn. Die eigenvectoren kunnen dus ook orthonormaal gekozen worden. Als een eigenwaarde van een symmetrische matrix een meetkundige multipliciteit groter dan \(1\) heeft, dan kunnen we met behulp van het proces van Gram-Schmidt eenvoudig een orthonormale basis van de bijbehorende eigenruimte construeren. Het is echter niet zo eenvoudig om aan te tonen dat voor elke eigenwaarde de algebraïsche multipliciteit gelijk is aan de meetkundige multipliciteit. Dat deel van het bewijs laten we achterwege.
Laatst gewijzigd op 2 mei 2021
