OnderwijsDifferentiaalvergelijkingen – Laplacetransformatie
De Laplacetransformatie is een integraaltransformatie van de vorm \(F(s)=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}K(s,t)f(t)\,dt\) die een functie \(f(t)\) transformeert naar een andere functie \(F(s)\). De functie \(K(s,t)\) heet de kern van de integraaltransformatie.
Voor de Laplacetransformatie geldt: \(K(s,t)=e^{-st}\) en \((\alpha,\beta)=(0,\infty)\).
Definitie: Als de functie \(f:[0,\infty)\to\mathbb{R}\) voldoet aan zekere voorwaarden, dan heet
\[F(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt\]de Laplacegetransformeerde van de functie \(f\). Notatie: \(F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt\).
Dit is een oneigenlijke integraal die niet voor elke functie \(f\) bestaat. De Laplacegetransformeerde bestaat alleen voor functies \(f\) waarvoor deze integraal
\[\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt=\lim\limits_{A\to\infty}\int_0^Ae^{-st}f(t)\,dt\]bestaat.
Stelling: Als \(f\) stuksgewijs continu is op elk deelinterval \([0,A]\) met \(A>0\) en \(|f(t)|\leq Ke^{at}\) voor alle \(t\geq M>0\), dan bestaat de Laplacegetransformeerde
\[F(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt\]van \(f\) voor \(s>a\geq0\).
De Laplacegetransformeerde bestaat dus voor de klasse van functies die stuksgweijs continu en van exponentiële orde zijn.
Bewijs: Merk op dat
\[\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt=\int_0^Me^{-st}f(t)\,dt+\int_M^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.\]De eerste integraal aan de rechterkant bestaat voor elke stuksgewijs continue functie \(f\). Voor de tweede integraal gebruiken we dat voor \(t\geq M\)
\[|e^{-st}f(t)|\leq Ke^{-st}e^{at}=Ke^{(a-s)t}.\]Omdat \(\displaystyle\int_0^{\infty}e^{(a-s)t}\,dt\) convergeert als \(a-s<0\), conculderen we dat de tweede integraal ook convergeert voor \(s>a\geq0\).
Laatst gewijzigd op 25 april 2021
