OnderwijsAnalyse – Limieten en continuïteit
Definitie (intuïtief): Neem aan dat \(f(x)\) gedefinieerd is voor \(x\) in de buurt van \(a\), hetgeen betekent dat \(f\) gedefinieerd is op een open interval dat \(a\) bevat met uitzondering van eventueel \(a\) zelf. Dan betekent
\[\lim\limits_{x\to a}f(x)=L\]dat \(f(x)\) willekeurig dicht bij \(L\) komt als we \(x\) (voldoende) dicht bij \(a\) kiezen, maar niet gelijk aan \(a\).
Notaties voor enkelzijdige limieten: \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\lim\limits_{x\uparrow a}f(x)\) (linker limiet) en \(\lim\limits_{a\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\downarrow a}f(x)\) (rechter limiet), die op dezelfde manier zijn gedefinieerd met \(x < a\) en \(x > a\) respectievelijk.
\[\lim\limits_{x\to a}f(x)=L\quad\Longleftrightarrow\quad\lim\limits_{x\uparrow a}f(x)=L=\lim\limits_{x\downarrow a}f(x).\]Definitie (precies): Neem aan dat \(f(x)\) gedefinieerd is op een open interval dat \(a\) bevat met uitzondering van eventueel \(a\) zelf. Dan is
\[\lim\limits_{x\to a}f(x)=L\]als voor ieder getal \(\epsilon > 0\) er een getal \(\delta > 0\) bestaat zodat
\[|f(x)-L| < \epsilon\quad\textrm{als}\quad 0 < |x-a| < \delta.\]Evenzo voor enkelzijdige limieten.
Oneindige limieten
Soms gebruiken we de notatie \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty\) als de waarden van \(f(x)\) willekeurig groot kunnen worden als we \(x\)
voldoende dicht bij \(a\) kiezen, maar niet gelijk aan \(a\).
Evenzo betekent \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=-\infty\) dat de waarden van \(f(x)\)
willekeurig groot negatief kunnen worden als we \(x\) voldoende dicht bij \(a\) kiezen, maar niet gelijk aan \(a\).
De insluitstelling
Stelling: Als \(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\) voor \(x\) in de buurt van \(a\), behalve eventueel in \(a\), en
\[\lim\limits_{x\to a}f(x)=L=\lim\limits_{x\to a}h(x),\]dan is
\[\lim\limits_{x\to a}g(x)=L.\]Continuïteit
Definitie: Een functie \(f\) is continu in \(x=a\) als \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Anders heet \(f\) discontinu in \(x=a\). In dat geval heeft \(f\) een discontinuïteit in \(x=a\).
Definitie: Een functie \(f\) is continu van links in \(x=a\) als \(\lim\limits_{x\uparrow a}f(x)=f(a)\) en \(f\) is continu van rechts in \(x=a\) als \(\lim\limits_{x\downarrow a}f(x)=f(a)\).
Definitie: Een functie \(f\) is continu op een interval als die continu is in elk punt in dat interval. Als \(f\) slechts gedefinieerd is aan één kant van een eindpunt van het interval, dan verstaan we onder continu in het eindpunt dat \(f\) daar continu van links of continu van rechts is.
Stelling: Als \(f\) continu is in \(b\) en \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=b\), dan is \(\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f\left(\lim\limits_{x\to a}g(x)\right)=f(b)\).
Laatst gewijzigd op 26 oktober 2021
